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2010-2011考研数学一历年真题答案
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案解析
一、选择题
1、【答案】【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由可知分别是的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的关系可知,
,,,故(3,0)是一拐点。
2、【答案】【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。
【解析】无界,说明幂级数的收敛半径;
单调减少,,说明级数收敛,可知幂级数的收敛半径。
因此,幂级数的收敛半径,收敛区间为。又由于时幂级数收敛,时幂级数发散。可知收敛域为。
3、【答案】【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件,直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
【解析】由知,
,
所以,,
要使得函数在点(0,0)处取得极小值,仅需
,
所以有
4、【答案】【考点分析】本题考查定积分的性质,直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。
【解析】时,,因此
,故选(B)
5、【答案】【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。
【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知,,所以,故选(D)
6、【答案】【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系,需要综合应用秩,伴随矩阵等方面的知识,有一定的灵活性。
【解析】由的基础解系只有一个知,所以,又由知,都是的解,且的极大线生无关组就是其基础解系,又
,所以线性相关,故或为极大无关组,故应选(D)
7、【答案】【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。
【解析】检验概率密度的性质:;
。可知为概率密度,故选()。
8、【答案】【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量进行处理,有一定的灵活性。
【解析】由于
可知
故应选(B)
二、填空题
9、【答案】 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算,直接代公式即可。
【解析】
10、【答案】
【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解,再根据定解条件,确定通解中的任意常数。
【解析】原方程的通解为
由,得,故所求解为
11、【答案】
【考点分析】本题考查偏导数的计算。
【解析】。故。
12、【答案】
【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式,再代入相应的计算公式计算即可。
【解析】曲线的参数方程为,其中从到。因此
13、【答案】
【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值,通过特征值的相关性质可以解出。
【解析】本题等价于将二次型经正交变换后化为了。由正交变换的特点可知,该二次型的特征值为。
该二次型的矩阵为,可知,因此。
14、【答案】
【考点分析】:本题考查二维正态分布的性质。
【解析】:由于,由二维正态分布的性质可知随机变量独立。因此。
由于服从,可知,则
。
三、解答题
15、【答案】
【考点分析】:本题考查极限的计算,属于形式的极限。计算时先按未定式的计算方法将极限式变形,再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。
【解析】:
16、【答案】
【考点分析】:本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件,主要考查考生的计算能力,计算量较大。
【解析】:
由于在处取得极值,可知。
故
17、【答案】时,方程只有一个实根
时,方程有两个实根
【考点分析】:本题考查方程组根的讨论,主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时,首先通过求导数得到函数的单调区间,再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。
【解析】:令,则,,
当时,,在单调递减,故此时的图像与轴与只有一个交点,也即方程只有一个实根
时,在和上都有,所以在和是严格的单调递减,又,故的图像在和与轴均无交点
时,时,,在上单调增加,又知,在上只有一个实根,又或都有,在或都单调减,又,,所以在与轴无交点,在上与轴有一个交点
综上所述:时,方程只有一个实根
时,方程有两个实根
18、【考点分析】:本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明,难度较大。(1)要证明该不等式,可以将其转化为函数不等式,再利用单调性进行证明;(2)证明收敛性时要用到单调有界收敛定理,注意应用(1)的结论。
【解析】:(1)令,则原不等式可化为。
先证明:
令。由于,可知在上单调递增。又由于,因此当时,。也即。
再证明:
令。由于,可知在上单调递增。由于,因此当时,。也即。
因此,我们证明了。再令由于,即可得到所需证明的不等式。
(2),由不等式可知:数列单调递减。
又由不等式可知:
。
因此数列是有界的。故由单调有界收敛定理可知:数列收敛。
19、【答案】:
【考点分析
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