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2012中考数学压轴题精选精析(11-20例)
11.(2011?江苏盐城)(本题满分12分)如图,已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A,
且与x轴交于点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l∥y轴.
动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不
存在,请说明理由.【答案】(1)根据题意,得,解得 ,∴A(3,4) .
令y=-x+7=0,得x=7.∴B(7,0).
(2)①当P在OC上运动时,0≤t<4.
由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8,得
(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8
整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6(舍)
当P在CA上运动,4≤t<7.
由S△APR= ×(7-t) ×4=8,得t=3(舍)
∴当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
②当P在OC上运动时,0≤t<4. 此时直线l交AB于Q。
∴AP=,AQ=t,PQ=7-t
当AP =AQ时, (4-t)2+32=2(4-t)2, 整理得,t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)
当AP=PQ时,(4-t)2+32=(7-t)2,整理得,6t=24. ∴t=4(舍去)
当AQ=PQ时,2(4-t)2=(7-t)2整理得,t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)
当P在CA上运动时,4≤t<7. 此时直线l交AO于Q。过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.
设直线l交AC于E,则QE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-t.
由cos∠OAC= = ,得AQ = (t-4).
当AP=AQ时,7-t = (t-4),解得t = .
当AQ=PQ时,AE=PE,即AE= AP
得t-4 = (7-t),解得t =5.
当AP=PQ时,过P作PF⊥AQ于F
AF= AQ = ×(t-4).
在Rt△APF中,由cos∠PAF= = ,得AF= AP
即 ×(t-4)= ×(7-t),解得t= .
∴综上所述,t=1或 或5或 时,△APQ是等腰三角形.
【考点】一次函数,二元一次方程组,勾股定理,三角函数,一元二次方程,等腰三角形。
【分析】(1)联立方程y = - x +7和y = x即可求出点A的坐标,今y=-x+7=0即可得点B的坐标。
(2)①只要把三角形的面积用t表示,求出即可。应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况了。
②只要把有关线段用t表示,找出AP=AQ,AP=PQ,AQ=PQ的条件时t的值即可。应注意分别讨论P在OC上运动(此时直线l与AB相交)和P在CA上运动(此时直线l与AO相交)时AP=AQ,AP=PQ,AQ=PQ的条件。
2、(2011?福州)已知,如图,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:对称.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
考点:二次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求二次函数解析式;抛物线与x轴的交点;图象法求一元二次方程的近似根;勾股定理。
专题:计算题;代数几何综合题。
分析:(1)求出方程ax2+2ax﹣3a=0(a≠0),即可得到A点坐标和B点坐标;把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上;
(2)根据点H、B关于过A点的直线l:对称,得出AH=AB=4,过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,求出AC和HC的长,得出顶点H的坐标,代入二次函数解析式,求出a,即可得到二次函数解析式;
(3)解方程组,即可求出K的坐标,根据点H、B关于直线AK对称,得出HN+MN的最小值是MB,过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,得到BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,由勾股定理得QB=8,即可得出答案.
解答:解:(1)依题意,得ax2+2ax﹣3a=0(a≠0),
解得x1=﹣3,x2=1,
∵B点在A点右侧,
∴A
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