《数字信号处理》课程设计说明书.doc

1 引 言 IIR滤波器设计技术依靠现有的模拟滤波器得到数字滤波器，工程实际当中把这些模拟滤波器叫做滤波器原型。在工程实际中应用最广泛的有两种模拟滤波器，即巴特沃斯 2 模拟滤波器的设计 2.1 常见的模拟滤波器 模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器，它们的理想幅度特性如图2.1所示。 图2.1 理想模拟低通滤波器幅度特性 设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。 2.2 模拟低通滤波器的设计指标 模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs和Ωs。 Ωp；通带截止频率 Ωs：阻带截止频率 αp：通带中最大衰减系数 αs；阻带最小衰减系数 αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成： 如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为 以上技术指标用图2.2所示。图中Ωc称为3dB截止频率，因 图 2.2 低通滤波器的幅度特性 2.3 用频率响应的幅度平方函数逼近 模拟滤波器幅度响应常采用“幅度平方函数”表示。 (2-1) 式中是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数。是其稳态响应，又称为滤波器的频率响应。是滤波器的稳态振幅特性。 从模拟滤波器变换为数字滤波器是从开始的，为此必须由已知的求得。这就要将（2-1）式与s平面的解释联系起来。设有一临界频率（极点或零点）位于，则必有一相应的临界频率落在的位置，即当的临界频率是落在位置时，则相应的临界频率必落在的位置。应该指出，纯虚数的临界频率必然是二阶的。在s平面上，上述临界频率的特性如图2.3所示。所得到的对称形式称为象限对称。图中在轴上零点处所表示的数代表零点的阶次是二阶的。 任何实际的滤波器都是稳定的，因此极点必落在s平面的左半平面。所以落于s左半平面的极点都属于，落于s右半平面的极点都属于。 零点的分布与滤波器的相位特性有关。如要求最小相位特性，则应选s平面左半平面的零点为的零点；若对相位有特殊要求，则可以以各种不同的组合来分配左半平面和右半平面的零点。 综上所述，可归纳出由确定的方法是： （1）根据（2-1）式，代入或到，得到一个s平面的函数； （2）求出第一步中所得s函数的所有零极点，将左半平面的极点分配给，右半平面的极点分配给，如要求最小相位特性，则应选s平面左半平面的零点为的零点；若对相位没有特殊要求，则可以各种不同的组合来分配左半平面和右半平面的零点。 （3）根据具体情况，对比与的低频或高频特性就可以确定出增益常数k。 3 切比雪夫型滤波器设计 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。 切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图3.1和图3.2分别画出了N为奇数、偶数时的切比雪夫I、II型滤波器的频率特性。 3.1 切比雪夫I型滤波器的基本特点 现在介绍切比雪夫I型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为 （3-1） 为小于1的正数，表示通带内振幅波动的程度。越大，波动也越大。为对截止频率的归一化频率，为截止频率，也是滤波器的通带带宽（注：切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是3dB带宽）。是N阶切比雪夫多项式，定义为 （3-2） 其中为反余弦函数；为双曲余弦函数；为反双曲余弦函数；它们的定义如（3-3）式和（3-4）式所示 N 0 1 x 2 3 4 （3-3） （3-4） （3-2）式可展开为多项式的形式如表5-2所示： 由表3-1可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式为 （3-5） 图3-3示出了N=0，4，5时切比雪夫多项式的特性。由图3-3可见： 1. 切比雪夫多项式的零值在的间隔内。 2. 当x1时，，且具有等波纹幅度特性。 3. 在的区间外，是双曲余弦函数，