02-13考研数学一真题及答案.docx

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)= _____________.(2)已知,则=_____________.(3)满足初始条件的特解是_____________.(4)已知实二次型经正交变换可化为标准型,则=_____________.(5)设随机变量,且二次方程无实根的概率为0.5,则=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数的四条性质:①在点处连续, ②在点处的一阶偏导数连续,③在点处可微, ④在点处的一阶偏导数存在.　则有:(A)②③①　(B)③②①(C)③④①　(D)③①④(2)设,且,则级数为(A)发散　　(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数在上有界且可导,则(A)当时,必有(B)当存在时,必有(C) 当时,必有(D) 当存在时,必有.(4)设有三张不同平面,其方程为()它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设和是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为和,分布函数分别为和,则(A)＋必为密度函数 (B) 必为密度函数(C)＋必为某一随机变量的分布函数 (D) 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数在的某邻域具有一阶连续导数,且,当时,若,试求的值.四、(本题满分7分)已知两曲线与在点处的切线相同.求此切线的方程,并求极限.五、(本题满分7分)　　计算二重积分,其中.六、(本题满分8分)设函数在上具有一阶连续导数,是上半平面(0)内的有向分段光滑曲线,起点为(),终点为().记,(1)证明曲线积分与路径无关.(2)当时,求的值.七、(本题满分7分)　　(1)验证函数()满足微分方程.(2)求幂级数的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为.(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为,写出的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵, 均为四维列向量,其中线性无关,.若,求线性方程组的通解.十、(本题满分8分)设为同阶方阵,(1)若相似,证明的特征多项式相等.　(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.　(3)当为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量的概率密度为对独立地重复观察4次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.十二、(本题满分7分)设总体的概率分布为0123其中()是未知参数,利用总体的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1) = .(2)曲面与平面平行的切平面的方程是 .(3)设,则= .(4)从的基到基的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量的概率密度为,则 .(6)已知一批零件的长度(单位:cm)服从正态分布,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数在内连续,其导函数的图形如图所示,则有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)设均为非负数列,且,,,则必有(A)对任意成立(B)对任意成立(C)极限不存在(D)极限不存在(3)已知函数在点的某个邻域内连续,且,则(A)点不是的极值点(B)点是的极大值点(C)点是的极小值点(D)根据所给条件无法判断点是否为的极值点(4)设向量组I:可由向量组II:线性表示,则(A)当时,向量组II必线性相关(B)当时,向量组II必线性相关(C)当时,向量组I必线性相关(D)当时,向量组I必线性相关(5)设有齐次线性方程组和,其中均为矩阵,现有4个命题:①若的解均是的解,则秩秩②若秩秩,则的解均是的解③若与同解,则秩秩④若秩秩, 则与同解以上命题中正确的是(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量,则(A)(B)(C)(D)三、(本题满分10分