映射、函数、反函数、函数图象及对称变换.docVIP

2．映射、函数、反函数、函数图象及对称变换 基础知识自测题： 1．如果给定一个从集合A到集合B的的映射f：A B，那么和A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象；a叫做b的原象，它们之间的关系可记做f：a b。 2．如果在某变化过程中有两个变量x, y，并且对于x的每一个确定的值，按照某种对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么称变量y是变量x的函数；记做y＝f (x)。 3．函数的三种表示方法是列表法、图象法、解析式法。 4．下列各对函数中表示同一函数的是 ④、⑤ 。 f (x)＝, g(x)＝x; ② f (x)＝x, g(x)＝; ③ f (x)＝, g(x)＝ ; ④ f (x)＝x, g(x)＝; ⑤ f (x)＝|x＋1|, g(x)＝。 5．函数y＝f (x)的图象和它的反函数y＝f (x)的图象关于直线y＝x对称。 6．若函数y＝f (x)的定义域是A，值域是B，且函数y＝f (x)存在反函数y＝f (x)，则y＝f (x)的定义域是 B ，值域是 A 。 7．若函数y＝f (x)存在反函数，则方程f (x)＝m（m为常数）（ C ）。 （A）有且只有一个实根（B）至少有一个实根（C）至多有一个实根（D）没有实数根 8．在同一坐标系内，函数y＝x和y＝x＋的图象可能是（ C ）。 （A） （B） （C） （D） 9．从集合A到集合B的对应法则是f：x y＝x2, 在下列情况下使f成为一一映射的是（ D ）。 （A）A＝R, B＝R （B）A＝R, B＝ （C）A＝, B＝R （D）A＝, B＝ 基本要求、基本方法： 了解映射的概念，在此基础上判断一个对应是否为映射。 理解函数及其有关概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数。 理解反函数的概念掌握求反函数的基本方法。 掌握画函数图象的基本方法，会画简单的函数图象，能根据函数的图象识别函数。 例1．(1)已知f (x)＝, g(x)＝x＋1，求f [g(x)],g[f (x)]。 (2)已知g(x)＝1－x2,且当x0时，f [g(x)]＝,求f ()。 解：(1) f [g(x)]＝＝, g[f (x)]＝f (x)＋1＝； (2) 令g(x)＝1－x2＝, 得x＝,∴ f ()＝f [g()]＝＝。 评注：复合函数是正确理解函数关系的重要工具，要灵活掌握各种方法。 例2．在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)移动，设P点移动的路程为x，△APB的面积是y， 求面积y关于路程x的函数解析式； 做出函数y＝f (x)的图象； 判断f (x)是否存在反函数。 解：(1) 若0≤x≤4，则S△APB＝2x；若4x≤8，则S△APB＝8； 若8x≤12，则S△APB＝24－2x. ∴ f (x)＝。 (2)函数的图象如右。 (3) f：x y 的映射不是一一映射，y＝f (x)不存在反函数。 评注：分段解决函数问题，把函数与它的图象结合在一起处理，加深对函数概念的理解，加强函数的直观性。 例3．函数f (x)＝ (c≠0, 且ad≠bc),当a, b, c, d满足什么条件时f (x)与它的反函数是同一个函数。 解：y＝, cxy＋dy＝ax＋b,得 x(cy－a)＝b－dy, ∵cy－a≠0, ∴x＝, ∴ 原函数的反函数是y＝, 故当d＝－a时，分f (x)与它的反函数是同一函数。 评注：要求熟练掌握求反函数的方法，同时注意求反函数时的条件处理。 基本技能训练题： 1．函数y＝x＋的图象是（ C ）。 （A） （B） （C） （D） 2．已知函数f (x)＝ (x≠－)满足f [f (x)]＝x, 则c等于 －3 。 3．已知A＝{1, 2}, B＝{3, 4},可以组成不同的从A到B的映射有 4 个。 4．已知f (x＋1)＝x2－3x＋2, 则f (x)＝ x2－5x＋6 。 若f (x)＝3x－5, f [g(x)]＝x－3，则g(x)＝ 。 已知对于任意的x∈R,总有f (x＋2)＝f (2－x),若f (x)＝0时，恰有两个不同的实数根，则这两个实数根的和为 4 。 把函数y＝的图象向左平移2个单位，再把横坐标变为原来的倍，所得图象对应函数的解析式是。 四．试题精选 （一）选择题： 1．对于下面四个命题，其中正确的有（ A ）个。 f (