一类具有斑块扩散与反馈控制的捕食者-食饵模型周期解的存在性.docVIP

一类具有斑块扩散与反馈控制的捕食者-食饵 模型周期解的存在性 谢旺生，翁佩萱 华南师范大学数学科学学院，广州 510631  摘要：本文研究一类具有斑块扩散与反馈控制的捕食者-食饵模型, 把微分方程求解问题转化为 算子方程求解问题, 利用重合度的连续性定理证明了这一模型至少存在一个正周期解. 关键词：捕食者-食饵系统; 周期解;反馈控制; 重合度; Mawhin连续性定理 中图分类号： O175.14 Existence of periodic solution for a predator-prey model with patch-di?usion and feedback control XIE Wangsheng , WENG Peixuan School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631 Abstract: A periodic predator-prey model with patch-di?usion and feedback control is studied. By changing the ordinary di?erential system into an operator equation and using Mawhin’s continuation theorem, the existence of at least one positive periodic solution for this model is proved. Key words: predator-prey system; periodic solution; feedback control; coincidence degree; Mawhin’s continuation theorem  0  引言与预备知识  捕食-被捕食模型一直是种群生态学的一个十分基本和重要的研究模型. 由于人为或大自然 的因素,野生动物的整个生存环境被铁路、公路、小岛等分割成许多斑块,形成斑块生态环境. 由 于野生动物在这些斑块之间扩散,因此在一般的Lotka-Volterra 模型基础上,建立扩散模型来研 究动物的生存状况显得十分必要. 这往往能让动物迁移到适宜的生存环境或避难所提供决策依 据. 越来越多的生物学和生理学证据表明,在许多情况下, 特别是当捕食者不得不搜寻食物因而 不得不分享或竞争食物时,一个更切合实际且更一般的捕食-被捕食模型应基于“比率依赖”理 论,也就是说捕食者种群密度的平均增长率应该是食饵种群密度与捕食者种群密度之比的函数. 基金项目： 教育部高等学校博士学科点专项科研基金(20094407110001)，广东省自然科学基金(10151063101000003) 作者简介： 谢旺生（1983-），男，硕士研究生，主要研究方向：常微分方程。通信作者：翁佩萱（1951-），女，教授，主要研 究方向：微分方程及其应用。 -1- 例如, XU 和CHEN 在[1]中讨论了两个斑块且功能性反应为Michaelis-Menten型的捕食者-食饵 模型的持续生存和稳定性. 在生态模型中加入反馈控制项,是近20年来生态数学研究的一个课题,其意义在于人们能根 据得到的信息来决定控制策略, 进而进行相关的调整,使物种之间达到新的平衡. 具体的引进反 馈控制变量的实施可以从引进新的鸟类、昆虫种类达到控制虫害的生物治理方法看到其雏形. 这个思想在以微分方程为模型的生态系统的体现最早来自GOPALSAMY WENG的工作[2]. 自GOPALSAMY WENG的工作之后,对于带有反馈控制项的不同生物模型,许多学者都做了 不少研究工作(请参考[3]- [8]). 由于季节变化、食物供给、居住条件的变化,考虑周期环境对生物系统的影响有很大的理 论和实际意义, 这启发我们考虑XU 和CHEN 在[1]中所考虑系统为周期系数函数的情况并引进 反馈控制作捕食者之间的竞争以及反馈控制作用,则我们得到了下面的生物模型：  ? ) ? ? ?  1 y˙(t) = y(t)[?r(t) ? a3(t)y(t) + c(t)yk(2t(?t)τx11)+(tx?1τ(1t)?τ1) ? β2(t)u2(t)],  (1) ? 1 1 1 1 2 2 ? ? 2 2 2 2 3 其中, xi(t)(i = 1, 2)表示第i个斑块食饵种群在t时刻的密度, y(t)表示捕食者种群在t时刻的密度, bi(t),ai(t),ki(