斐波那契数列与黄金分割.ppt

斐波那契数列与黄金分割 我们先来做一个游戏！ 十秒钟加数 请用十秒，计算出左边一列数的和。 十秒钟加数 再来一次！ 这与“斐波那契数列”有关 若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：  一、兔子问题和斐波那契数列 1． 兔子问题 1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年） (L.Fibonacci,1170-1250） 兔子问题 解答 1 月 1 对 解答 1 月 1 对 解答 1 月 1 对 解答 1 月 1 对 解答 1 月 1 对 解答 1 月 1 对 解答 1 月 1 对 解答 可以将结果以列表形式给出： 规律 兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？ 月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对。 2． 斐波那契数列 1） 公式 用 表示第 个月大兔子的对数，则有二阶递推公式 2） 斐波那契数列 令n = 1, 2, 3,… 依次写出数列，就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144，233，377，… 这就是斐波那契数列。其中的任一个 数，都叫斐波那契数。 [思]：请构造一个3阶递推公式。  二、 相关的问题 斐波那契数列是从兔子问题中抽象出 来的，如果它在其它方面没有应用，它就 不会有强大的生命力。发人深省的是，斐 波那契数列确实在许多问题中出现。 1． 跳格游戏 如图，一个人站在“梯子格”的起点处向上跳，从格外只能进入第1格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：可以用多少种方法，跳到第n格？ 解：设跳到第n格的方法有 种。 由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一种方法，从而 而能一次跳入第n格的，只有第 和第 两格，因此，跳入第 格的方法 数，是跳入第 格的方法数 ，加上跳入 第 格的方法数 之和。 即 。综合得递推公式 容易算出，跳格数列 就是斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 2． 连分数 这不是一个普通的分数，而是一个分 母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常 称这样的分数为“连分数”。 上述连分数可以看作是 中，把 的表达式反复代入等号右端得到的；例如，第一次代入得到的是 反复迭代，就得到上述连分数。 上述这一全部由1构成的连分数，是最简单的一个连分数。 通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，我们常常需要求它的近似值。 如果把该连分数从第 条分数线截住，即把第 条分数线上、下的部分都删去，就得到该连分数的第 次近似值，记作 。 对照 可算得 发现规律后可以改一种方法算， 例如 顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为 3． 黄金矩形 1） 定义：一个