高中数学基础知识巩固第十二章《导数及其应用》自主检测.docVIP

本章自主检测 一．填空题 1．在导数定义中，自变量x的增量△x与0的大小关系是 不等于0 。（填大于0、小于0、等于0或不等于0） 2．已知函数y= f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则= 2f ′(x0) 。 3．抛物线y= x2上点M(，)的切线倾斜角是 45° 。 4．曲线y＝x3－3x＋1在点（1，－1）处的切线方程为 y＝－1 。 5． 函数已知时取得极值，则= 5 。 6．设则。 7．函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 3，-17 . 8．若曲线y=h(x)在点P(a, h(a))处的切线方程为2x+y+1=0，则与0的大小关系是 0。 9．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是2x－y+4=0。 10．在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最小的切线方程是 3x－y－11＝0 　。 11．某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+( t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为. 12．若函数恰有3个单调区间，则的取值范围是。 13．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式为。 14．（理科）（1）设函数。若是奇函数，则。 （2）由与轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为。 （文科）（1）函数的最大值是。 （2）已知函数的导函数是，且的图象过点，当函数取得极大值时， 0 。 二、解答题：本大题共5小题，共76分．．在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围. 解： 由题意得： ∴ 的图象是开口向下的抛物线， 16．（本小题满分14分）已知是函数的一个极值点，其中， （I）与的关系式； （II）求的单调区间； （III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围. 解：(I)，因为是函数的一个极值点, 所以,即，所以 （II）由（I）知，= 当时，有，当变化时，与的变化如下表： 1 0 0 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故由上表知，当时，在单调递减， 在单调递增，在上单调递减. （III）由已知得，即 又所以即① 设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， 所以解之得又 所以 即的取值范围为 17．（本小题满分16分）(理)已知函数f(x)＝ln(x+1)－x． ⑴求函数f(x)的单调递减区间； ⑵若，证明：． (文) 已知f(x)＝ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求a的取值范围. 解：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－。 由0及x－1，得x0． ∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）． ⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0， 因此，当时，≤，即≤0 ∴ ． 令， 则＝． ∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0． ∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ ． 综上可知，当时，有． (文)解：函数f(x)的导数： （Ⅰ）当（）时，是减函数. 所以，当是减函数； （II）当时，= 由函数在R上的单调性，可知当时，）是减函数； （Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有 所以，当时，函数不是减函数. 综上，所求的取值范围是（ 18．(本小题满分16分) 已知a为实数，求导数；若，求在[2，2] 上的最大值和最小值； 若在(∞，2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围。由原式得 ∴ ⑵由 得,此时有. 由得或x=-1 , 又 所以f(x)在[2,2]上的最大值为最小值为 解法一的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线,由条件得 即 ∴2≤a≤2。 所以a的取值范围为[2,2]. 解法二令 即 由求根公式得: 所以在和上非负. 由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0, 从而x1≥-2,x2≤2, 即 解不等式组得－2≤a≤2. ∴a的取值范围是[－2,2]. 19．(本小题满分16分) 已知函数在处取得极值。 ⑴讨论和是函数的极大值还是极小值； ⑵过点作曲线的切线，求此切线方程。 解：⑴，依题意，，即 解得。 ∴。 令，得。 若，则， 故 在上是增函数， 在上是增函数。 若，则， 故在上是减函数。 所以，是极大值；是极小值。 ⑵曲线方程为，点不在曲线上。 设切点为，则点M的坐标满足。 因，故切线的方程为 注意到点A（0，16）在切线上，有 化简得，解得。 所以，切点为，切线方程为。 教育资源 教育资源