2012年全国初中数学竞赛试题(含答案).docVIP

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）． （A）2c?a （B）2a?2b （C）?a （D）a 2．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的有两个点，其中一个点的坐标为（3，2），另一个点的坐标2，3，2，33，2为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B） （C） （D） 4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，61，2，3，则中最大的是（ ）． （A） （B） （C） （D） 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） ．487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 . 7．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 . 8．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么 的值为 ． 9．．10． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 1，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围． 12．，⊙O 1过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与⊙O 1交于点，且．点在上，且，BE的延长线与⊙O 1交于点，求证：△BOC∽△． 13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值. 14．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且. 中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年 全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 C 解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知 ，且， 所以 ． 2．D 解：由题设知，，，所以. 解方程组得 所以另一个交点的坐标为（3，23，2，所以这四个数据的平均数为 ， 中位数为 ， 于是 . 4．D 解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得 消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =. 因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7． 5．D 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3，因此最大． 二、填空题 ．≤487 ≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19． 7．8 解：连接DF的边长为2. 由题设易知△∽△，所以 ， 由此得，所以. 在Rt△ABF中，因为，所以 ， 于是 . 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ， . 于是 ， ， . 又，所以. 因为，所以. 8． 解：根据题意，关于x的方程有 =k2－4≥0， 由此得 (k－3)2≤0． 又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故==． 9．，胜（负）局数为，由题设知 ， 由此得0≤b≤43. 又 ，所以. 于是 0≤≤43， 87≤≤130， 由此得 ，或. 当时，；当时，， ，不合题设. 故． 10．. 因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是 . 因此 . 由△∽△，知．因为， 所以 ，BA=AD ，故 . 三、解答题 1时，恒有，所以 ， 即，所以． ………（5分） 当时，≤；当时，≤，即 ≤， 且 ≤， 解得≤． ………（10分） 设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得 ． 因为，所以 ， 解得，或．