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介值性定理的证明及应用 摘 要 通过巧妙的构造辅助数列，应用致密性定理来证明闭区间上连续函数的介值性定理，以及介值性定理在解不等式及证明方程根的存在性中的应用． 关键字 介值性定理;辅助数列（函数）;致密性定理;柯西收敛准则;最值性定理 中图分类号 Proof of?intermediate value?theorem?and applications Wang Yan (School of Mathematics and Statistics HeXi University,Zhangye,Gansu,734000) Abstract Through?clever?construct?auxiliary?series applied?density theorem to prove intermediate value? theorem of continuous function?on?a closed interval?and?the?intermediate value?theorem’s application of the solution of inequality?and?prove?the existence of the?equations’ roots． Keywords Intermediate value?theorem; Auxiliary?series; Density?theorem; Cauchy?convergence criterion; Most value?theorem． 介值性定理是数学分析课本中有关闭区间连续函数的一个重要的定理，也是微分论中重要的基本定理之一，这一定理虽简单，但应用广泛，在微积分理论中不少定理的证明要用到该定理．介值性定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在数学分析教材中一般应用有关实数完备性的个基本定理中的确界原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理来证明．根据函数极限的归结原则，函数极限问题往往转化为数列极限问题来解，使得构造一个适当的辅助数列变成解决问题的关键，在这里通过巧妙地构造辅助函数和辅助数列，应用最值性定理，致密性定理及柯西收敛准则来证明． 1 介值性定理及其推论的证明 介值性定理 设函数在闭区间上连续，且，若是介于与之间的任何实数（或），则至少存在一点，使得． 推论1（根的存在性定理）若函数在闭区间上连续，且（异号）则至少存在一点，使得． 推论 2 设在区间内连续，则 （1）设在区间内没有实根，则在内恒正或者恒负； （2）若在区间内有个不同实根，且则这个实根将区间分成个小区间，在每个小区间内恒正或者恒负． 1．1 应用最值性定理证明介值性定理 证明 假设与分别是函数在闭区间上的最小值与最大值，是与之间的任意数，如果则函数在区间上是常数．显然，定理是成立的在，如果，根据最值性定理在闭区间上必存在两点与，使，．不妨设，且，已知，如果或，则或，定理成立． 现只需证明的情况，作辅助函数，根据连续函数的四则运算性质，函数在闭区间上连续，从而在闭区间上也连续，且与，根据根的存在性定理（零点定理），在区间内至少存在一点，使，即，即，则定理成立．． 1．2 应用致密性定理证明介值性定理 这里我们不妨设，令，则也是上的连续函数，且，．于是介值性定理的结论转化为：存在一点，使得．这个简化的情形就是根的存在性定理，因此，要证明介值性定理只要证根的存在性定理即可． 首先，证明下面两个引理： 引理 设是有界数列，而且，则的聚点的集合是，其中，． 证明 根据定义，与都是的聚点，故我们只要证明与之间的任意实数都是的聚点即可． 先证，对于任给的及任给的正整数，必有存在，使得． 事实上，由假定知必有正整数存在，当时恒有，令，则数列中至少必有两项和存在，使，（否则，例如，无小于的项，则必有，此与矛盾）．不妨设，令满足且使的正整数中之最大者为，显然，且，因此，，且． 现取，，则存在，使；再取，，则存在，使；又取，，则存在，使，如此继续下去，得到的一个子列，满足，故，即是聚点． 引理 设在闭区间上连续，故数列且，证明存在点，使得． 证明 因为，所以有界． 由致密性定理“有界数列必有子列”可知中必有收敛子列，设，由于，故． 又，故，由于在闭区间上连续，因而． 下面对根的存在性定理进行证明： 证明 取的中点，记为，再取及的中点，分别记为，，且； 又取的中点，依次记为，且，． 然后取的中点，依次记为，且，； 如此继续下去，可得到数列满足，对任意的正整数，存在正整数，使，从而有． 数列所对应的函数列为，由于函数在闭区间上连续，所以在闭区间上一致连续且有界，因而对任给的，存在，及正整数，当时，有． 因而，，即． 再由引理1得的聚点集合是，其中，． 显然，的子列：收敛于，