数学系毕业论文.docVIP

高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 何江 摘要：本文主要从近几年的高考中概括出七种比较常见的含有绝对值的不等式，并且介绍其简洁解法，从而化繁为简，化难为易. 关键词：绝对值不等式；简洁解法 不等式一直都是高中数学教学的重点内容之一，不等式的思想也一直贯穿于整个高中数学教学，无论是在教学还是高考中，不等式都是占据着十分重要的地位.我们来看看在近几年的全国卷中有关不等式的题型分值的变化情况，其中2007年全国卷I中有关不等式的题型在整张卷子所占的分值为34分，约占总分的22%，2008年全国卷I中不等式的分值为39分，占总分的26%，2009年全国卷I中有关不等式的题型分值为45，约为总分的30%，而在2010的全国卷I中不等式所占的分值比例再一次被提高到了32%，占据了150分当中的49分.从中可以看出，有关不等式的题型在近几年的高考中都占据着大头,而且呈现出稳步上升的趋势. 关于不等式的教学无非两个方面的教学：解不等式与证明不等式.纵观近几年全国各地的高考，无论是统一考试还是自主命题，其中都少不了不等式的身影，观其命题形式多是关于解不等式的题型，而其中特别是解绝对值不等式的这类题型是高考中不少人的拦路虎，所以有必要讨论一下这种题型的解法.对于绝对值不等式的解法，通常情况很多人采取的是“分类讨论”，“去绝对值符号”，“化为一般不等式”这样的步骤来进行求解，但是这样的方式方法通常耗时费力，而且容易出现讨论不完整的情况.所以我们有必要在此讨论以下此类题型的简洁解法，在这里我主要是将此类问题分作七种类型来讨论，下面来一一进行分析. 类型一：形如型不等式 解法:根据的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 当时， 或 当 ，无解 使的解集 当时， ，无解 使成立的的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 解： 因为 ， 所以 . 即 ， 解得： ， 所以 ，故选A. 类型二：形如型不等式 解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解： 或 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： 例2 （2004年高考全国卷）不等式的解集为（ ） A． B. C． D. 解： 或 或，故选D 类型三：形如，型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下 解法：把看成一个大于零的常数进行求解，即： ， 或 例3 （2007年广东高考卷）设函数，若，则的取值范围是 解： ，故填：. 类型四：形如型不等式 解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即： 例4 （2009年山东高考理科卷）不等式的解集为 解： 所以原不等式的解集为 类型五：形如型不等式 解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即： ，无解 例5 （2004年海南卷）解关于的不等式 解： 当时，原不等式等价于： 当时，原不等式等价于： 当时，原不等式等价于： 或 或 综上所述 当时，原不等式的解集为： 当时，原不等式的解集为： 当时，原不等式的解集为： 类型六：形如使恒成立型不等式. 解法：利用和差关系式：，结合极端性原理即可解得，即： ； ； 例6 （2010高考安徽卷）不等式对任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B. C. D. 解： 设函数 所以 而不等式对任意的实数恒成立 故，故选择A 类型七：形如 ， ， 1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解. 例7 （2009年高考福建理科卷）解不等式 分析：找出零点： 确定分段区间： 解：（1）当时，原不等式可化为： 解得： 因为 ，所以 不存在 （2）当时，原不等式可化为： 解得： 又因为 ， 所以 （3）当时，原不等式可化为： ， 解得： 又 ， 所以 综上所述，原不等式的解集为： 2、特别地，对于形如 ， 型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即： 或 例8 （2009年辽宁高考理科卷）设函数 （1）若，解不等式 （2）如果求的范围 解： 当 由得： 即： 或 解得： ，即： 或 故不等式的解集为： （2）由得： 即： 或 即： 或 因为恒成立， 所以 成立，解得： 或 故的取值范围为： 绝对值不等式一直是高中教学中的一