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静电场边界条件的唯一性定理 魏 国 华 0710261 南开大学物理学院 2008年6月 静电场边界条件的唯一性定理 所谓唯一性定理，就是在一个空间内，导体的带电量或者电势给定以后，空间电场分布恒定、唯一。边界条件可以是各导体电势，各导体电量或部分导体电量与部分导体电势之混合，这样根据高斯公式，泊松方程、拉普拉斯方程可证明空间电场分布。 静电场若干关系 电场的若干关系 （1） 当 静电场若干关系 对静电场E 如果 则有 静电场若干关系 函数 静电场边界条件定理1 因此 静电场边界条件定理1 定理一： 有函数U满足（1）且满足空间边界面S上所确定的U值，则该函数唯一。 证：若有U1，U2都 满足，则在S面上， U1=U2； 令U=U1-U2， 则面积分为零，且 静电场边界条件定理1 当且仅当对所有空间U皆有 U为常数，但在S面上，U=0，所以 U=0 静电场边界条件定理2 定理二：若有一U满足（1）且满足S面上 则U唯一。 证：若有两个U1、U2，S面上 同理可证在所有空间U1=U2。 静电场边界条件定理3 定理三：给定每个导体的电量Q 若有两种分布U1、U2，即 静电场边界条件定理3 令 则 U相当于所有导体不带电时的恒定分布 静电场边界条件 给定他们的混合条件以及不同区域的条件，可用叠加原理求证，边界条件给定空间电场分布唯一、恒定。 根据唯一性定理，一个边值问题只要能列出定解条件，就可以用各种方法得到一个解，且唯一。常用方法有： （1）分离变量法；（2）图解法；（3）电像法；（4）特解法；（5）格林函数法；（6）复位函数法 在此以电像法举例： Laplace equation 唯一性定理之应用 电像法 e之电势在壳表面为0，假设壳内有-e 他们在没有壳时在连线与壳交点处电势为0。 唯一性定理之应用1 他们的电位为 唯一性定理之应用2 唯一性定理之应用2 唯一性定理之应用2 参阅相关书籍 《电动力学》仁毅志 《电磁学》吴大猷 《电磁学》赵凯华 * * * * 当E为一数函数之梯度 由Gauss定理有 -e e