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题 目： Jensen不等式的推广 院（系）专业： 数学系（数学与应用数学） 学生姓名： 冯德文 学 号： 2003701107 导师（职称）： 杨慧章 (助教) 日 期： 2012年6月 摘 要 凸函数是一种性质特殊的函数，而凸函数的Jensen 不等式是一个很重要的不等式，由它可推出一系列不等式，而凸函数的构造也有其妙处。为使其更广泛应用于不等式的证明，本文利用凸函数的性质对Jensen不等式进行了推广，得到几个重要的积分不等式并进行了证明。 关键词：凸函数 ； 积分 Abstract The convex function is one function with special properties, but the Jensen inequality of convex function is a very important inequality. According to the function, we can evolve a series of inequalities, and use it more easily to prove some important inequalities, but the convex function structures also have their advantages, In order to make good use of proving inequalities widely, in this paper, we use the properties of convex function to expand the Jensen inequality, obtain several important integral inequalities and give the proof of them. Key word：Convex Function；Integral ， 1 预备知识 1.1 凸函数 定义 设为定义在区间上的函数，上的任意两点和任意实数总有 则称为上的凸函数。， 则称为上的凹函数。为上的可导函数，为上的凸函数的充要条件是， 上的任意两点， 1.2 Jensen不等式 定理2 (Jensen不等式) 为区间上的凸函数，，， (1-1) 再把上式两端分别相加， 由 及， = = 即 注：当时，，(1-1)式变为 (1-2) 2 Jensen不等式的推广 2.1 积分型Jensen不等式 命题1 若在区间上连续，2阶可导且， (2-1) 证法：等分，，代入(1-2)式， 即 因为，上连续，时，有 所以 2.2 其它积分不等式 命题2 若在连续，， (2-3) 证明：，，，为凸函数。1可得 即 所以 注：2为命题1的一般形式，。为凹函数，。 在区间连续且， (2-4) 证法一：，，。，，为凸函数。1有 即 结论得证。 ：3由命题1所得，。： 等分，。， = 由有 令， 结论得证。 在连续，则有 证： 为凸函数，Jensen不等式有 =。 = 注：。 ．因为且的连续性，所以由Jensen不等式有 = = =。