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线性代数试卷 一、填空题（本大题共小题，每小题3分，总计1分） 且，则必须满足. 2．设矩阵与相似，其中. 已知矩阵有特征值，则. 3．设两两互不相同，则的充要条件是. 4．设向量组，，线性无关，则，，必须满足关系式. 5．设为矩阵，为矩阵，且，，则. 二、选择题（本大题共小题，每小题3分，总计1分） 是矩阵（），是矩阵，则下列运算结果为阶方阵的是（ B ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 2．若线性方程组（为非零常数）有唯一解，则必须满足（ D ）. （A）；（B）或；（C）或；（D）且. 3．设为阶矩阵，下列结论中不正确的是（ C ）. （A）可逆的充要条件是； （B）可逆的充要条件是的列秩为； （C）可逆的充要条件是的每一行向量都是非零向量； （D）可逆的充要条件是当时，. 4．设向量组：与向量组：等价，则（ C ）. （A）； （B）； （C）； （D）以上都不对. 5．三阶矩阵的特征值为1，2，3，则下列矩阵中可逆矩阵是（ A ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 三、（本题满分为分） 的值. 解： 。。。。。。（3分） 。。。。。。（6分） . 。。。。。。（8分） 四、（本题满分为1分），，，，且，求的值. 解： 。。。。。。（2分） ， 。。。。。。（7分） 因，所以，得. 。。。。。。（10分） 五、（本题满分为1分），且，求. 解：由，得. 。。。。。。（2分） ，， 所以可逆，于是. 。。。。。。（5分） 根据求： ， 所以. 。。。。。。（10分） 六、（本题满分为分） （1）求其导出的齐次线性方程组的一个基础解系； （2）由基础解系表示方程组的一般解. 解：对增广矩阵施行初等行变换化为行最简形： . 。。。。。。（4分） （1）导出组的同解方程组为 . 分别令及，得及. 导出组的一个基础解系为 ，. 。。。。。。（8分） （2）原方程组的同解方程组为 . 令，得. 原方程组的一个特解为. 原方程组的一般解为 ， 为任意数. 。。。。。。（12分） 七、（本题满分为分），求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其它列向量用该最大无关组线性表示. 解：对矩阵施行初等行变换化为行最简形： . 。。。。。。（5分） 记矩阵的列向量组为，则矩阵的列向量组的一个最大无关组为， 。。。。。。（7分） 且有 ，，. 。。。。。。（10分） 八、（本题满分为分）为矩阵的一个特征向量，求参数及所对应的特征值. 解：设所对应的特征值为，则， 。。。。。。（3分） 由此得 ， 。。。。。。（7分） 解得所对应的特征值，参数. 。。。。。。（10分） 九、（本题满分为分）可相似对角化，求. 解：矩阵的特征多项式 ， 矩阵的特征值为，. 。。。。。。（6分） 因矩阵可相似对角化，所以的几何重数等于代数重数，即 . , 因，所以，得. 。。。。。。（10分） 第 1 页 共 6 页《线性代数》