高等数学同济大学第六版数列的极限课件.ppt

函数与极限 数列收敛的表述——用逻辑符号: * 数列发散的表述——用逻辑符号: 三. 数列极限的性质 小结 例4 证 数列:研究其取值规律，变化趋势。 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、子数列的收敛性. 适当放大 例7 求数列 的极限。 分析 练习题 3. 反之是否成立? * Chap01 函数、极限与连续 不介绍、不需要掌握的内容: P17 双曲函数_双曲正弦,双曲余弦,双曲正切; P19 反双曲函数_...; P55 柯西Cauchy收敛准则; P72 一致连续性. Chap01 函数、极限与连续 重点内容: 极限定义,极限运算法则, 极限存在准则,两个重要极限, 等价无穷小量; 2. 函数的连续性,连续函数的运算,闭区间上连续函数的性质. 难点: 极限存在准则,等价无穷小量的使用; 函数的间断点,闭区间上连续函数性质的应用. 今日讲课内容: 数列极限定义 函数极限定义 长假后讲课内容: 极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限 概念的引入 二. 数列极限的概念 三. 数列极限的性质 数列的极限 1. 如何用渐近的方法求圆的面积A？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积A. A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积, An表示圆内接正6?2n-1边形面积, ? ? ? ? ? ?, 显然n越大, An越接近于A. 因此, 需要考虑当n??时, An的变化趋势. 一、概念的引入 刘徽割圆术： “…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 刘徽 | 牟合方盖 2. 曲边三角形的面积问题： 与割圆问题 同样的是 ——曲边 三角形的 面积 A 如何计算？ 1 1 o x y 我们通常的做法是:将区间[0,1] n 等份,用小矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积. 不足近 似(橘 色部分) 过剩近 似(橘色 加蓝色 部分) 可以看到，随着 n 的不断增大，不足近似 不断增加，过剩近似不断减少，越来越接 近于所要求的曲边三角形面积 A 的真值。 3. 截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例如 数列 注意： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 问 题 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 二. 数列极限的定义 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 几何解释: 其中 例1 证 所以, 用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定 的 寻找N. 例2 例3 证 注意： 3. 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性. 1.　有界性 例如, 有界 无界 定理1 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2.　唯一性 定理2 收敛的数列极限唯一。 定理2 收敛的数列极限唯一。 证 法二 3#.　子数列的收敛性 注意： 例如， 定理3 收敛数列的任一子数列也收敛，且极限相同。 证明从略。 其实这个结论就是 从一般到特殊的必然。 * *