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第二章 Laplace变换 §1. Laplace变换 §2. 常见函数的Laplace变换 §3. Laplace变换性质 §4 Laplace 逆变换 §5 卷积及Laplace变换的应用 §1. Laplace变换  §2. 常见函数的Laplace变换 三．指数函数e §3. Laplace变换性质 §4 Laplace 逆变换 §5 卷积及Laplace变换的应用 而 ？ 例： 求 解： s=1是 的三阶极点， s=1 是S平面右半平面极点， ， 发散。 3．F（s）有一阶极点，又有多阶极点。 例： 解： s=-1是一阶极点； S=-3 是三阶极点。 定义：两函数 与 ，定义 为两函数卷积，记为 * * = * 是t的函数。 卷积定理 若 ， ， 则 H(s) 例： ，求 。 解： * * 一．定义 若函数f(t),其积分 收敛，那么积分就是一个 式中S是复数, 称为积分核。上式称为Laplace 变换。 (t0) 称为 Laplace逆变换（或反变换）。 可写成 也常写成 时域 它们是一一对应的关系。 复域 下面讨论控制理论中常见函数的Laplace变换 一．单位阶跃函数 （Re(s)0） 即： 二．正弦函数sinkt,，余弦函数coskt = = = = Re(s)0 即 同理： Re(s)0 即： 四．幂函数 L[ ]= 可用分部积分（m次）或利用 函数。 又 ，当m为正整数 函数 = ；令 则 ,代入上式得 = = 即L[ ]= Re(s)0 五． 函数（脉冲函数） 定义： 它不是一个普通函数，是一个普通函数序列极限。 例： = =1 工程表常用 t 有向线段表示，长度表示其积分值。 因脉冲强度是一个单位，又称单位脉冲强度。 1 该函数有一重要性质——抽样性质，即 因此 = = 例：求 的拉氏变换 例：求 的拉氏变换 解 解： = = 一．线性性质 若 是常数，L[ ]= ， L[ ]= ，则 L[ ]= 其实上面求L[ ]时已应用于此性质。 二．频移性质 若L[f(t)]=F(s),a是一个常数，则 L[ ]=F（s-a）. 证： = = F（s-a） 例：L[ ]=？ 三．延时性质 若L[f(t)]=F(s),且 ,则 　　（ ） 　 = 证：　 　 = 　 = 证： = 四．微分性质 若 ，则 ＝sF(s)-f(0) 推论： 当初始条件均为零时， 利用微分性质求 ， 则 对上式两边取L变换： = 常会用到下面性质 证: = = 即 = = = 证明： 证： 对两边取 得： 或得： 例：求 解： 例：求 解： = 设： 则： 应用微分性质 对 两边取 变换 即 五．积分性质 若 则： （2-16） 六．初值定理和终值定理 若是有理代数式， 它必须是真分式（分子阶次分母阶次）。 初值定理 若 且 存在，则 或 （2-17） 证： 又 存在，故 存在且相等， 即 对上式两边取极限 2．终值定理 若 ， 且 的所有奇点均在S平面的左平面。（以上条件是保证 一定存在）则 或 （2-18） 证： 对上式两边取极限 例：已知 求 解： 例：求 解： ？ 两边取 即 ？ 即： 定义 t0 二．用部分分式去求 （ nm） 1． 只有单阶极点 即：