大学数学线性代数经典课件习题课.ppt

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一、计算(证明)行列式 第一章   测试题 测试题答案 一、填空题(每小题4分,共40分) * 1 用定义计算(证明) 例2 用行列式定义计算 解   评注 本例是从一般项入手,将行标按标准 顺序排列,讨论列标的所有可能取到的值,并注 意每一项的符号,这是用定义计算行列式的一般 方法. 注意 2 利用范德蒙行列式计算 例4 计算   利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德 蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列 式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。 解   上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式,由 范德蒙行列式知   评注 本题所给行列式各行(列)都是某元 素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如 提取公因子、调换各行(列)的次序等)将此行 列式化成范德蒙行列式. 3 用化三角形行列式计算 例5 计算 解 提取第一列的公因子,得   评注 本题利用行列式的性质,采用“化零” 的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式. 化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多 的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零 的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数 化为1;若所给行列式中元素间具有某些特点,则 应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到 化为三角形行列式之目的. 4 用降阶法计算 例6 计算 解   评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行(列)化成只含有一个非零元素,然后 按此行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数 可降低 1阶,如此继续进行,直到行列式能直接 计算出来为止(一般展开成二阶行列式).这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用. 5 用拆成行列式之和计算 例7 证明 6 用递推法计算 例8 计算 解 由此递推,得 如此继续下去,可得 评注 7 用数学归纳法 例9 证明 证 对阶数n用数学归纳法 评注   计算行列式的方法比较灵活,同一行列式可 以有多种计算方法;有的行列式计算需要几种方 法综合应用.在计算时,首先要仔细考察行列式 在构造上的特点,利用行列式的性质对它进行变 换后,再考察它是否能用常用的几种方法. 小结

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