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第六节 一、高斯 ( Gauss ) 公式 证: 例1. 例2. 例3. 例4. 例5. 二、通量与散度 例6. 例7. 高斯(1777 – 1855) *科学出版社 一、高斯公式 二、通量与散度 高斯公式 *通量与散度 Green 公式 Gauss 公式 推广 定理1. ? 上有连续的一阶偏导数 , 函数 P, Q, R 在 有向闭曲面? (取外侧)所围成, 则有 (高斯公式) 高斯 设空间有界闭区域 ? 由分片光滑 下面先证: （xy-型区域) , 于是 定理1 设 其中 是柱面的一部分. 所以 若 ? 不是 xy-型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 xy-型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得高斯公式： 定理1 在高斯公式中, 若令 区域的体积公式 则可得空间 这里Σ为区域Ω边界曲面的外侧. 高斯公式将第二型曲面积分化为了三重积分， 利用高斯公式可以简化某些第二型曲面积分的计算. 因此 计算 其中Σ为由 与 z=0 所围上半球区域 Ω 边界曲面的外侧. 解: 因此由高斯公式 用球坐标 其中? 为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解: 由高斯公式, 得 I = 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 ? 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 利用重心公式比较方便, 注意 用高斯公式计算 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 设? 为抛物面 的上侧, 求 解: 作辅助曲面，取下侧 先二后一 用极坐标 位于 在闭区域? 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 其中? 是整个? 边界面的外侧. 注意: 高斯公式 设函数 注意: 高斯公式 证:令 由高斯公式得 移项即得所证公式. 计算 其中Σ 为椭球面 取外侧， 解: 作辅助曲面 取内侧. 足够小, 使得 围成的小球体 在Σ所围区域内部， 则在 与 围成的区域Ω内函数满足高斯公式的条件. 当函数 P, Q, R 在闭曲面Σ内存在点不满足高斯定理 条件时, 可考虑添加辅助曲面后再用高斯公式. 由 得 于是 取内侧 实例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 理意义可知, 设? 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面? 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为 若? 为方向向外的闭曲面, 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量少于 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过? 的流量为 当? = 0 时, 说明流入与流出? 的流体质量相等 . 流出的, 表明? 内有源; 表明 ? 内有洞 ; 根据高斯公式, 流量也可表为 (1) (1) 方向向外的任一闭曲面 , 记? 所围域为? , 设? 是包含点 M 且 为了揭示场内任意点M 处的特性, 在(1)式两边同除以? 的体积 V, 并令? 以 任意方式缩小至点 M, (记作 则有 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 设有向量场 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, ? 是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过 有向曲面 ? 的通量(流量) . 在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 V 在点 M 的散度. 记作 显然 则称该点为源, 则称该点为洞(负源), 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 V 处处有 , 则称 V 为无源场. 例如, 匀速场 故它是无源场. 注: 由实例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且 散度意义 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为 解: 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. 解: 记 穿过曲面? 流向上侧的通量, 其中? 为柱面 被平面 截下的 有限部分. 则? 上侧的法向量为 在? 上 故所求通量为 求向量场 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大 恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. * *