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2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1. 设，则（? ???） A.24.????? B. 25.?????? C. .??????? D. . 2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（? ??） A..????? B. .?????? C. .??????? D. . 3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为（?? ?） A.1.????? B. 2.?????? C. 3.??????? D. 4. 4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为?（? ??） A..????? B. .?????? C. .??????? D. . 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝?（? D ?） A..????? B. .?????? C. .??????? D. . 6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（? ??） A.3.????? B. 4.?????? C. 5.??????? D. 6. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________. 2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______. 3．如果实数满足条件，，则______. 4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对. 第一试答案：　ACCBDB；－3，，－1，－7 第二试 （A） 一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P. （1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点. （2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值. 解:? （1）易求得点的坐标为，设，，则，. 设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则. 因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). ?? （2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为， 即. 又，所以 ，解得.? 二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求. 解? 作E⊥AB于E，F⊥AB于F. 在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，. 又CD⊥AB，由射影定理可得，故， . 因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝. 连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，. 同理，可求得，. 所以＝. 三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： ???????????????????????????????????????? ?① ????????????????????? ?② 证明：以为三边长可构成一个直角三角形. 证法1? 将①②两式相乘，得， 即， 即， 即，? 即， 即， 即，即， 即，? 所以或或，即或或. 因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 证法2? 结合①式，由②式可得， 变形，得???????????? ?③?? 又由①式得，即， 代入③式，得，即.???? ， 所以或或. 结合①式可得或或. 因此，以为三边长可构成一个直角三角形.??? ? ? 第二试 （B） 一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB. 解? 因为BN是∠ABC的平分线，所以. 又因为CH⊥AB，所以 ， 因此.? 又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆. ??????????????????????????????????????? 又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上. 因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB. ? ? 三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. ?? ? 第二试 （C） 一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. ? 二．（本题满分2