数学学年论文毕业论文极限计算的常用方法1.doc

极限计算的常用方法 摘要：本文主要介绍极限计算的一些常用方法,根据极限的概念，运算法则，性质，定理等对极限计算的方法进行归类。 关键词：极限，计算方法 函数 引言：极限理论是微积分学习的基础，极限计算也是我们大学数学学习中常常遇到的问题，是否能快速的解决这类问题，将对我们的学习十分有益。本文根据极限的概念，运算法则，性质，定理等对极限计算的方法进行归类，分析如下供大家参考： 一．用极限的定义求极限 用极限的定义求极限时，一般先估计所求极限的值，再利用定义证明。 例1 若已知 求 分析： 由以上分析，我们考虑用定义来证明此题。 解：ε0,,及 ，当n时 从而有： 对上述ε0, ，st: 取N=max{},当nN时，有 +即：由定义知： 二.用迫敛性求极限 定理 若=。若存在自然数N，当nN时，有 则 利用这个定理常常使有些极限问题得到解决。极限的迫敛性,在解决一些较为复杂的问题上,是一个较好的求极限工具. 例1 , 解:因为对任意实数,有:从而 当x0时,有: 故有迫敛性知:= 求的极限 解: 因为当n2时 所以 当n2时, 故有迫敛性得: =1 例3 求[(n+1)-n] (0) 解: (1+n) (1+n) 0(1+n)-(1+n) 且故有迫敛性得: [(n+1)-n]=0 三.用洛比达法则求极限 我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限,分别记为型或型的不定式极限.我们以导数为工具研究不定式极限的方法即为洛必达法则.用洛比达法则求极限的特点是方法划一,具有很强的一般性,用它可以较简单的求出一些复杂的极限,但有局限性应用时,一定要注意法则的应用条件,否则会得出一些错误的结果. 求() 解: 这是一个型不定式极限通分后化为 型的即: ()===== 例2 求 解： 本题属于 型 但 = (**)显然,当x时, (**)式极限不存在,故不满足洛比达法则的条件,但根据极限性质可得: = (xsin*)=0 可见极限是存在的. 四.用等价无穷小量代换来求极限 对于的极限通常是将其转化为型或型,再利用洛比达法则求出极限,下面利用等价无穷小量代换,简化了某些的极限. 例1 解:当x时, 所以== 例2 求 解:由于tanx-sinx=tanx(1-cosx) 而(x) 1-cosx( x) (x) 故有: == 注意:在利用无穷小量代替极限时,应注意只有对极限式中相乘或相除的因式,才能用等价无穷小量来代替,而对极限中相加或相减部分则不能替代,例如上题中例3,若利用tanx, sinx而推出: ==0 则得到错误的结果. 五.用泰勒展式求极限 极限运算中,运用泰勒展式将其转化为多项式函数,则可将复杂的极限分解为若干个简单的极限,从而达到简化的目的. 例1 求 () 解: 因为()=e 而= ==== 例2: 求 解: sinx=x- e=1+x+ 故: = ==1 例3: 求 解: = == 六．应用两个重要极限 1． =1 例1 1求 2 求 解：1==k 2== 求 解： == =*= 2. =e 求 解: ==e 七.用定积分求一类数列的极限 定积分的产生源于“分割,近似求和,取极限”或者可以说定积分是的极限利用此我们可以将有些极限问题转化为定积分问题.由于定积分是一种和式极限,因此,当建立起一系列定积分计算公式与法则之后,又可以用定积分计算方法来求某些数列的极限. 例1.求 解: 因为===-1所以=e=-1 例2 求 [] 解：令A= 则： 即： 而 ==== 故有迫敛性得： []= 八．用斯铎兹定理求极限 例1 求 解：=e 因为= = lnn= 故= 例2 求（p为自然数） 解：令x= y=n 则 ==== 九．用单调性求极限 利用单调性求极限，一般先证明极限的存在性，再设通式，利用方程来求极限。 求数列，，的极限 解：记a= 易见数列{ a}是递增的，现用数学归纳法来证明{ a}有上界，显然a=,假设a2，则有a==2，从而对一切n有a2,即{ a}有上界。有单调有界定理，数列{ a}有极限，记为a，由于aa 对此式两边取极限得=a+2 所以（a+1）(a-2)=0解得:a=-1 ,或a=2 .由数列极限的保不等式性 a=-1 是不可能的，故有: =2 求(a) 解：令x= 任意 a ,当 0 时，则x==x 所以 {x}是单调递减且有下界0所以x存在 设x=a 则 x = 两边取极限得 得 所以 =0当-1时