数学学年论文毕业论文求极限的常用方法1.doc

求极限的常用方法 摘 要:极限的方法是数学分析的基本运算，求极限的方法有很多种，以下我举常用的几种方法，一般的极限问题都可以解决. 关键词： 极限 方法 实例 极限的概念是数学分析中最重要的，最基本的概念之一，而求极限又是数学分析最重要的运算之一，掌握好求极限的方法对学好数学分析是十分重要的，下面是介绍求极限的常用方法. 一、利用极限的四则运算法则求极限 利用该种方法求极限方法简单,易于掌握,条件是每项或每个因子极限存在才能适用.一般情况所给定的变量都不满足这个条件,例如出现(∞-∞)等情况,都不能直接运用四则运算法则,必须对变量进行变形. 例1 求 解:由于当ｘ→1时与的极限均不存在,故不能利用“和的极限等于各极限的和”这一法则.这时可先进行化简: 这样得到的新的函数,当ｘ→1时,分子,分母都有极限,且分母的极限不为0,可用商的极限法则,即: =1 二、利用无穷小的性质求极 我们知道在某一过程中为无穷大量的数是无穷小量;有界函数与无穷小量的乘积,仍是无穷小量.利用这两个定理可以求出某些函数的极限. 例2 解:当ｘ→1时分母的极限为0,而分子的极限不为0,可先求出所给函数倒数的极限: =0 利用无穷小量的倒数是无穷大量 故： = 例3 =J 解:∵sin 故sin 是有界函数 J=0 三 、 利用迫敛性定理 若且 例4 = J 解：设 显见 且 利用迫敛性定理方法计算的极限，关键在于构建适当的和使得满足且有相同的极限. 四、利用单调有界定理 单调有界数列必有极限提供了一种判别极限的方法，具体步骤有： 看数列是否单调有界，并设立极限为A 建立数列相邻两项的关系式 3、 求 解：显见单调递增，有数学归纳法可证明对任意的n=1，2，3`…… 有 即单调有界，根据单调有界数列必收敛的定理，即有极限，设为A。 因为 两边取极限，A= 由此可得： . 五、利用定积分概念求极限 我们用一例子作出解释 例6 解：J= 不难看出，其中的和式是函数在[0 1]的一个积分和（这里所取得的是等分分割，，）所以，和式与值相等 因此我们用定积分求极限时，一定要注意是无穷项求和，构造相应的积分是最重要的. 六 利用两个重要极限 我们知道求极限 例7 这是一个 （0/0）型利用洛比达法则，比较麻烦，现在用一种新的方法解题 例9 求 分析：为了利用极限 故把原式括号式子拆成两项，第一项是1 解： 注意：利用重要极限时，往往要求利用三角公式对变量进行变形成标准型为止，利用 要做到变量代换. 七 利用洛必达法则 洛必达法则是计算不定式极限的重要方法，这种法法用起来简单、有力 需要注意的是要看将x代入式中时原式是否为不定式，如果不是，就不 使用此法则.在重复过程中，必须都作检查，一旦发现不是不定式，就停止处理。 例10 求 解：首先我们知道是（）型，可以用洛必达法则 = 可接下来就不能再运用，因为不符合条件，另外 例11 f(x)= 且已知g(0)=g=g 求f 不能因为x定在其上可导.因此我们必须绕开这个条件 因此对洛比达法则我们一定要注意是否符合定理的条件 但如果化为（）型则不可能出现结果，因此我们要对具体问题具体分析，对于 ，不定式 八、利用泰勒级数展开式求极限 用此法则必须熟记基本初等函数展开式相互消去一些项，也是比较常用的计算方法 例13、求 这是一个（）型，若用洛比达法则，需要重复计算六次，但另外用一种方法就比较简单，现在我们来介绍这种方法. 这也是一种比较常用的方法，适用于一般的幂次方比较大的极限问题，在极限中应该有某些函数的展开式. 九 、 利用积分中值定理 对于一些特殊的极限问题，积分中值定理是一项很好的应用 例14 计算 解：f(x)= 在[0 1/2]连续可积，由积分中值定理可知 十 、利用收敛级数的必要条件 例15 求 解：考虑 所以级数收敛，由级数收敛的必要条件知：=0 这一方法有很大的局限性，因为它只能判断一部分以0为极限的数列，但是由于判断级数收敛的方法很多，因此在有些情况这种方法是方便的. 十一、 利用数项级数的和及函数的特殊值 例16 解：原式= 不难求出收敛域[ ]， 由于幂级数在其收敛域内可以逐项求积分，因此时 令x=1代入， 原式= 十二 利用无穷小的关系求极限 此法是把一个无穷小量变换成一个表达式比较简单的等价无穷小，可以转化计算过程，但是要记住一些常用的等价关系.例如 ： 例17： 解：首先观察x趋于1时