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第七章 习题解答 1．设（X，d）为一度量空间，令 问的闭包是否等于？ 解 不一定。例如离散空间（X，d）。={}，而=X。 因此当X多于两点时，的闭包不等于。 2 设 是区间上无限次可微函数的全体，定义 证明按成度量空间。 证明 （1）若=0，则=0，即f=g （2） =d（f，g）+d（g，h） 因此按成度量空间。 设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集包含B，而且。 证明 令是开集：设，则存在，使。设则易验证，这就证明了是 开集 显然。若则对每一个n，有使，因此。因B是闭集，必有，所以。证毕 设d（x，y）为空间X上的距离，证明 是X上的距离 证明 （1）若则，必有x=y （2）因而在上是单增函数，于是 = =。证毕。 5， 证明点列{}按习题2中距离收敛与的充要条件为的各阶导数在 [a，b]上一致收敛于f的各阶导数 证明 若{}按习题2中距离收敛与，即 ——0 因此对每个r，——0 ，这样 ——0 ，即在 [a，b] 上一致收敛于。 反之，若的（t）各阶导数在[a，b]上一致收敛于f（t），则任意，存在，使 ；存在，使当时，max ，取N=max{ }，当nN时， 即 ——0 。证毕 6设，证明度量空间中的集{f|当tB时f（t）=0} 中的闭集，而集 A={f|当tB时，|f（t）|〈a（a0）为开集的充要条件是B为闭集 证明 记E={f|当tB时f（t）=0}。设，按中度量收敛于f，即在[a，b]上一致收敛于f（t）。设，则，所以f E，这就证明了E为闭集 下面证明第二部分 充分性。当B是闭集时，设f A。因f在B上连续而B是有界闭集，必有，使。设 。我们证明必有。设，则若，必有，于是，所以这样就证明了A是开集 必要性，设A是开集，要证明B是闭集，只要证明对任意若，必有 倘若 ，则定义。于是对任意， 因此 由于A是开集，必有，当C[a，b]且时， 定义，n=1，2。。。。。则 因此当时，。 但是，此与的必要条件：对 任意，有矛盾 因此必有证毕 7设E及F是度量空间中的两个集，如果，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F 证明 设。令 则且，事实上，若，则有，所以存在E中的点x使，F中点y使，于是，此与矛盾。证毕 设 B[a，b]表示[a，b]上实有界函数全体，对B[a，b]中任意两元素f，g B[a，b]，规定距离为。证明B[a，b]不是可分空间 证明 对任意[a，b]，定义 则B[a，b]，且若， 倘若B[a，b]是不可分的，则有可数稠密子集，对任意[a，b]，必有某，即。由于[a，b]上的点的全体是不可树集。这样必有某，，使，，于是此与矛盾，因此B[a，b]不是可分空间。证毕 9 设X是可分距离空间，为X的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个 ，有中的开集O，使得，证明必可从中选出可数个集组成X的一个开覆盖。 证明 若，必有，使，因是开集，必有某自然数n，使。 设是X的可数稠密子集，于是在中必有某，且。。事实上，若，则所以。 这样我们就证明了对任意，存在k，n使且存在 任取覆盖的O，记为是X的可数覆盖。证毕 X为距离空间，A为X中子集，令证明是X上连续函数 证明 若对任意，存在，使。取。则当时因此。由于x与对称性，还可得。于是。这就证明了是X上连续函数 设 X为距离空间，是X中不相交的闭集，证明存在开集使得。 证明 若，则由于，为闭集，必有，使，令，类似，其中，显然是开集，且。 倘若，则必有，使。设。不妨设，则因此，此与矛盾。这就证明 了。证毕 12 设 X，Y，Z为三个度量空间，f是X到Y中的连续映射，g是Y到Z中的连续映射，证明复合映射是X到Z中的连续映射 证明 设 G是Z中开集，因g是Y到Z中的连续映射，所以是Y中开集。又f是X到Y中的连续映射，故是X中 的开集。这样是X中 的开集，这就证明了g。f是X到Z的连续映射。证毕 X是度量空间，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c，集合和集合都是闭集 证明 设 f是X上连续的实函数，又对每一实数c，G=（c，）是开集，于是 是开集。这样= 是闭集。同理是闭集。 反之，若对每个实数c，和都是闭集，则和都是开集。设G是直线上的开集，则或，其中是G的构成区间。不妨设于是是开集。因此f是连续的实函数。证毕 证明柯西点列是有界点列。 证明 设{ }是X中的柯西点列。对10，存在N，使当n，m时，，令则对任意有。因此{ }是有界点列。证毕 15证明第一节中空间S，B（A），以及离散的度