2012届高考数学压轴题预测：3、解析几何.docVIP

2012届高考数学压轴题预测 专题3 解析几何 考点一 曲线（轨迹）方程的求法 设上的两点， 满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值； （3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 解析：本例（1）通过，，及之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。 答案：（1） 椭圆的方程为 （2）设AB的方程为 由 由已知 2 （3）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB=1 当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b 所以三角形的面积为定值. 点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足① , ②= = ③∥ （1）求顶点C的轨迹E的方程 （2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（, 0） ，已知∥ , ∥且·= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值. 解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 答案：（1）设C ( x , y )， ,由①知,G为 △ABC的重心 ， G(,) 由②知M是△ABC的外心，M在x轴上 由③知M（，0）， 由 得 化简整理得：（x≠0）。 （2）F（，0 ）恰为的右焦点 设PQ的斜率为k≠0且k≠±，则直线PQ的方程为y = k ( x －) 由 设P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = , x1·x2 = 则| PQ | = · = · = RN⊥PQ,把k换成得 | RN | = S =| PQ | · | RN | = =) ≥2 ， ≥16 ≤ S 2 ， (当 k = ±1时取等号) 又当k不存在或k = 0时S = 2 综上可得 ≤ S ≤ 2 Smax = 2 ， Smin = 点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 考点二 圆锥曲线的几何性质 如图，F为双曲线C：的右焦点 P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点 已知四边形为平行四边形， （Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式； （Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程 分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。 解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又， （Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：， 又，由得：，解得，则，所以为所求 点评：本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。 设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线 （Ⅰ）、求椭圆的方程； （Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝ 故椭圆的方程为 （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 设M（x0，y0） ∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02） 又点M异于顶点A、B，∴－2x02，由P、A、M三点共线可以得 P（4，） 从而＝（x0－2，y0）， ＝（2，） ∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02） 将代入，化简得·＝（2－x0） ∵2－x00，∴·0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角， 故点B在以MN为直径的圆内 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则－2x12，－2x22，又MN的中点Q的坐标