现代设计法概论-2.ppt

机械优化设计 Engineering Optimization 工程优化问题 求解优化问题 利用迭代算法求解优化问题: 设计空间 设计空间 = 所有可能设计方案的集合 例: 设计空间 优化所涉及的几个问题 ： 研究目标和约束函数： 简化问题 找出不正确的公式 选择合适的优化算法 特性: 有界性 线性性 凸性 单调性 函数的线性性 “函数 f满足如下条件，则称其为线性的  f(x1+ x2) = f(x1)+ f(x2) 和 f(a x1) = a f(x1) 对区域中的任意两点 x1, x2,和所有的 a” 凸集 凸函数Convex function:这两个点的连线完全处在f(X)曲线(曲面)的上方，或在f(X)曲线(曲面)上 凸集 凸集:其任意两点连线上的一切点都位于这个集合内 “A set S is convex if for every two points x1, x2 in S, the connecting line also lies completely inside S” 非线性约束函数将导致非凸可行区域 : 优化问题特性： 响应: 有界性 线性性 凸性 单调性 例: 圆柱管设计 优化问题分析 动因: 简化 及早确定公式误差 确定欠约束/过约束问题 洞察问题 现存的优化问题的需要条件 基本需求: 有界性和起作用约束 边界函数 下边界 Lower bound: 边界性核查 假设: 在工程优化问题中，设计变量为正的且有界, 定义 边界性核查: 确定 g+，对 确定最小化 完好边界， 如果 例： 空气瓶设计 Objective: 最小化质量 空气瓶约束 最小体积: 边界约束 将公式转化为只有一个优化变量。 如：空气瓶的厚度t: 起作用约束 移除约束 = 松弛问题 去除gi的松弛问题的解集为 Xi 1. 2. 3. 约束作用核查 例: 单调性 单调性: 函数 f 是严格单调递增，如果 : f(x2) f(x1) for x2 x1 弱 单调递增，如果: f(x2) ? f(x1) for x2 x1 单调递减类似 起作用和单调性理论 “约束 gi 为起作用约束，如果且仅当松弛问题的最小值要低于原来的问题的值” 第一单调性原理 “In a well-constrained minimization problem every variable that increases f is bounded below by at least one non-increasing active constraint” 空气瓶设计 单调性分析: 优化变量 严格约束一定是起作用的: 优化变量 优化变量 Optimizing variables out Optimizing variables out 问题! 长度不是完备约束: 气瓶方案 长度约束是严格的: 一定是起作用的! 解决: 严格性 定义: 例： 气瓶设计 去除 r: 气瓶设计 新问题: 气瓶问题 最后，去除h 和 t: 总结 核查优化问题: 目标的边界核查 确认无约束问题 单调性分析 识别不合适的边界问题 确定严格约束 消除变量 去除非作用约束 但 … 等式约束: 目标中的约束变量都是起作用的 其他是半起作用 例: 非优化变量 可能: 等式约束 单个非单调性约束 t r h l 单调性分析的结果: 发现问题并确定 不需要用数值优化就能找到最优解 # 号变量 由约束i严格界定 # 号约束可能 由变量j严格界定 0 非严格性 约束 1 1 唯一的 严格约束 1 多重 严格约束 1 条件 严格约束 多重约束可能模糊边界性! 如果可能可去除。 Critical w.r.t. r Critical w.r.t. h Critical w.r.t. t Conditionally critical w.r.t. l Multiple critical! Critical for t Critical for h ? 结论: 多个严格约束模糊了l中的病态界定 非完备界定! 松弛问题: x1 x2 f 3 1 x 0 hi x 0 gi g(x) h(x) The cost of the springs is proportional to their stiffness, hence the objective function. Note difference between strictly convex and “normal” convex. N = set of nonnegative numbers, P = set of positive and finite numbers F(x*)