7.5 平面方程.ppt

第五节 一、平面的点法式方程 例1.求过三点 说明: 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 二、平面的一般方程 设有三元一次方程 特殊情形 例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 三、两平面的夹角 特别有下列结论： 例4. 一平面通过两点 例5. 设 例6. 解: 设球心为 内容小结 * * 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 平面及其方程 第七章 ① 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称①式为平面?的点法式方程, 求该平面?的方程. 法向量. 量 则有 故 即 解: 取该平面? 的法向量为 的平面 ? 的方程. 利用点法式得平面 ? 的方程 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 : 过三点 的平面方程为 此式称为平面的截距式方程. 时, 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程②与此点法式方程等价, ② 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 (P327 例4 , 自己练习) 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角? 的余弦为 即 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 因此有 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C , 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 外一点,求 解:设平面法向量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . ,则P0 到平面的距离为 (点到平面的距离公式) 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限,且 因此所求球面方程为 四面体的球面方程. 从而 1.平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 三点式 2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: