§8.2偏导数与全微分.ppt

定义1. 同样可定义对 y 的偏导数 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . * §8.2 偏导数与全微分 1.偏导数: 例:城市的大气污染指数 取决于两个因素:空气中固体废物的数 量 和空气中有害气体的数量 若空气中有害气体数量保持常数 , 而 是变化的, 则当 在 时有一个单位的变化时,大气污染指数 会改变多少? 这种由于一个自变量变化而其余自变量固定不变而产生的变化 率称为多元函数的偏导数. , 假设 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 , 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为 (请自己写出) 函数 在点 处的偏导数可视为 、 在点 的函数值. 偏导函数 求二元函数 的偏导数的方法： ①把 视为常数，用一元函数的求导法求出 ②把 视为常数， 用一元函数的求导法求出 根据一元函数的求导公式和求导法则求导即可。 注：对多元函数求关于某一个自变量的偏导数时, 只需视其它 变量为常数, 例8.2.1 求 的偏导数 解: 例8.2.3求函数 的偏导数. 解: 分开讨论: ①当 时, ②当 时, 时, 当 本例说明, 二元函数在某一点处各偏导数存在, 但未必连续. 注： 可证明 （沿 轴方向趋近于 ，极限为 ，沿 方向趋近于0，极限 ， 值不同，极限也不同）. 若二元函数在一点不连续,它的偏导数还是可以存在的. 这是因为偏导数仅仅刻画了函数沿 轴 或 轴方向上的 并不能给出函数在其它方向上的变化情况. 不存在. 变化率, x z y 0 ? 由一元函数导数的几何意义： z= f (x,y) L： L = tan? 偏导数的几何意义 . y =y0 同理， . M Tx 固定 y =y0 M ? 由一元函数导数的几何意义： z= f (x,y) L = tan? . x =x0 固定 x =x0 Tx ? Ty 偏导数的几何意义 . x z y 0 2、高阶偏导数 设函数 在区域D 内有偏导数 若这两个函数的偏导数存在， 称其为函数 的二阶偏导数. 二阶混合偏导数 二阶以上的偏导数称为高阶偏导数. 类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数， 定理 则在该区域内这两个混合偏导数必相等. 在区域D 内的两个二阶混合偏导数连续, 若函数 例8.2.4求 的二阶偏导数. 解: 3．全微分的定义 设函数 在点 某邻域内有定义， 分别给 一增量 函数相应的增量称为全增量， 记作 其中 仅与 有关 ， 称为函数 记作 即 全微分： 的全增量可表示为 若函数 在点 则称函数 在点 处可微分. 处的全微分. 在点 无关， 与 若函数 在区域D内各点处都可微分, 在D内可微分. 则称函数 注: 事实上, 由 知 再由 知 若函数 在点 处可微分， 则函数在该点 必连续。 函数可微分与偏导数有什么关系？ （或可微分的充分、 必要条件是什么？） 问题： 证 固定 y ，则 同理可证 证毕. 定理1(必要条件) 且 若函数 在点 处可微分， 则该函数在点 的偏导数 必定存在, 由 ? 注：函数的各偏导数存在只是函数可微的必要条件，而不是 充分条件。 例如，函数 处, 在 但 不存在。 若 沿着直线 趋于 时， 当 时， 并不是 的高阶无穷小 所以函数在 处的微分不存在。 ？ 定理2 (充分条件) 则函数在该点可微分. 若函数 在点 的偏导数 连续, 证： 设偏导数在 处连续。则偏导数在该点的某邻域内必 存在。 设点 为这邻域内的任意一点，则 由拉格朗日中值定理： 又 在 连续， 同理： 则： 即 所以 习惯上，我们将自变量的增量 分别记作 并分别 称为自变量x、y的微分。则函数 的全微分就可写为 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件 事称为二元函数的微分符合叠加原理。 叠加原理也适合二元以上的函数，如 注:有连续的偏导