常系数线性常微分方程.ppt

二阶常系数齐次线性微分方程: 2. 当 3. 当 小结: 例1. 例3. 例5. 例6. 内容小结 思考与练习 思考题 一、 例1. 例2. 例3. 求解定解问题 二、 第一步 第二步 求如下两方程的特解 第三步 求原方程的特解 第四步 分析 小 结 例4. 例5. 例6. 思考与练习 2. 求微分方程 3. 已知二阶常微分方程 振动问题 例2. 1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) 解的特征: 2) 有阻尼自由振动情况 小阻尼自由振动解的特征 : 大阻尼解的特征: 临界阻尼解的特征 : 例3. 例4. 时可设特解为 时可设特解为 提示: 1 . (填空) 设 的通解 (其中 为实数 ) . 解: 特征方程 特征根: 对应齐次方程通解: 时, 代入原方程得 故原方程通解为 时, 代入原方程得 故原方程通解为 有特解 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程: 阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 则得强迫振动方程: 解: 由例1 知, 位移满足 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 初始 求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 取其平衡位置为原点建 因此定解问题为 自由振动方程 , 方程: 特征方程: 特征根: 利用初始条件得: 故所求特解: 方程通解: 简谐振动 A: 振幅, ? : 初相, 周期: 固有频率 (仅由系统特性确定) 方程: 特征方程: 特征根: 小阻尼: n k 这时需分如下三种情况进行讨论: 大阻尼: n k 临界阻尼: n = k 解的特征 解的特征 解的特征 ( n k ) 由初始条件确定任意常数后变形 运动周期: 振幅: 衰减很快, 随时间 t 的增大物体趋于平衡位置. ( n k ) 1) 无振荡现象; 此图参数: 2) 对任何初始条件 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. ( n = k ) 任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 2) 无振荡现象 ; * 常系数高阶 线性微分方程 一. 常系数线性齐次微分方程 二. 常系数线性非齐次微分方程 第六章 常系数 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第六章 和它的导数只差常数因子, 代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u = x , 则得 因此原方程的通解为 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程: 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例4. 解: 特征方程: 特征根 : 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解 解: 特征方程: 即 其根为 方程通解 : 解: 特征方程: 特征根为 则方程通解 : 特征根: (1) 当 时, 通解为 (2) 当 时, 通解为 (3) 当 时, 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . 求方程 的通解 . 答案: 通解为 通解为 通解为 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 .