2013数学建模协会讲座(第二次的讲稿).ppt

练习： T型通道的优化设计 很多拥有大型设备的企业，如：火力发电厂，它拥有锅炉，汽轮机，发电机等大型设备，在进行厂房规格的设计时，必须首先考虑这些大型设备能够顺利安装到机位上。如何将设备顺利地安装到机位上这就涉及到运输通道的设计问题。 假定某企业新购置一台长为L的设备，要从A处经过T型通道运抵B处并安装在处（如图所示）。已知T型通道的U通道宽度确定（即不可能再加宽），而通道V还有拓宽的空间，问题是如何设计V通道的宽度使大型设备顺利运抵B处，且不因运送设备而浪费通道V所占用的空间 《数学建模》 实 例 背景材料 一年前，银行存款利息普遍下调．因此，农村部分资金雄厚的个体户想把资金用于土地承包上；另一方面，当地政府也感到资金短缺，想把大面积土地连续10年、20年或30年的承包给农户，但要求承包者必须现在一次性缴纳完10年、20年或30年的合同款，对于承包者提前支付的合同款，政府决定按提前的时间分别予以计息后，抵合同款，于是就产生了下面的问题． 例1 农田承包问题 问题 某农场现有若干亩农田要承包给农户，农场决定：每亩地每年收合同款200元，一农户打算连续承包若干亩农田30年，并决定一次性缴完30年的合同款，但对于提前交付的合同款，农场必须按年息10％予以计息后抵缴合同款(按单利计算)，问此农户每亩地现在一次性应向农场缴纳合同款多少元? 问题分析 (1)第一年的合同款属于按期交付，不予计息．每亩地应收： x1＝200(元)， 即为 x1十x1·10％(1-1)＝200(元)。 (2)第二年的合同款属于提前一年交付，应按本金的一年计息后抵合同款，设第二年每亩地留缴本金x2元，则每亩地提前缴纳的合同款的本息和应等于当年每亩地需缴的合同款200元．即 x2十x2·10％(2-1)＝200． x2＝182(元)． (3)第三年的合同款属于提前二年交付，应按本金的二年计息后抵合同款，设第三年每亩地需缴本金x3元，则第三年每亩地提前缴纳的合同款的本息和也应等于当年需缴的合同款200元．即 x3十x3·10％(3-1)＝200， x3＝166(元)． (4)依次类推，设第30年每亩地现在应缴本金工：x30元，则有 x30十x30·10％(30-1)＝200， x30＝51 (元). (5)设该农户每亩地现在一次性应向农场缴款S元，则 S＝x1十x2十x3十…十x30 = =2849(元)． 故此农户每亩地现在一次性应向农场缴合同款2849元． 评注 以上问题可建立如下数学模型： 设第i年每亩地现在提前交付的本金为xi元。则 xi十xi·A％(i一1)＝a (1) 其中A％为年利息，a为每亩地每年规定缴纳的合同款． 运用公式(1)可算出第i年每亩地，现在需交的合同款．设农户连续承包农田n年，每亩地第一年一次性缴纳的合同款为Sn，则 Sn＝ ． 例2 红绿灯问题 问题 在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果绿灯亮15秒钟，问最多可以有多少辆汽车通过这个交叉路口? 问题分析 因为交通灯对十字路口的控制方式很复杂，我们这里研究的所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶到马路一侧或单行线上的车辆。假设车辆长度均为L米，每相邻两辆车之间的距离相等均为D米，前一辆车 启动后，下一辆车启动的延迟时间均为T秒，红灯前停止的汽车按照匀加速运动 来描述。对于红灯前第n辆车，则有 若在城市道路上行驶的汽车的最高时速限制为 米/秒，并设汽车启动后一直加速到这个最高速度，并以这个速度向前行驶，则汽车加速时间为 由上面分析可得到绿灯亮后汽车行驶的规律是 实例 对于模型的参数值，我们取L＝5米，D＝2米，T＝1秒，据调查，城市的十字路口汽车的最高速度一般是40千米／小时，即 米/秒，10秒钟内车子可以由静止加速到20米/秒，其加速度为 a＝2米/秒2， 秒 根据这些参数，可以计算出绿灯开始亮到亮至15秒，每辆汽车的位置如下表所示。 车的位置表 车号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 最终位置(米) 135.7 117.6 99.5 81.4 63.3 45.2 27.1 9 -9.1 结论 从上表可见，当绿灯亮到15秒时，第八辆汽车已经驶过红绿灯9米，而第9辆汽车还距交通灯9.1米，因此不能通过。 例3 贷款购房