数学建模作业1——火箭上升问题的模型建立.doc

题目：火箭上升问题的模型建立 组员： 摘要 本文研究的是火箭上升问题，并针对有燃料和燃料已用尽两个问题分别建立了符合实际的数学模型。在模型的求解过程中，通过运用MATLAB及微分方程，对建立的模型进行求解，得出了符合实际的结果。 关键字：火箭上升；数学模型；微分方程 问题重述 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克每秒的速度燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力。当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米），重力加速度取10米/秒2 （1）建立火箭升空过程的数学模型； （2）求引擎关闭瞬间火箭到达最高点的时间和高度。 基本假设 1.火箭在喷气推动下作直线运动，火箭飞行时所受的地球自传与公转忽略不计。 2.火箭正常飞行，忽略其他因素对火箭飞行的影响。 3.假设产生影响的各个因素相互独立。 4.火箭上升初速度忽略不计，引擎足够强大。 5.火箭上升时所受到的重力加速度不变。 符号说明 ：火箭上升过程的时间。 ：第一个过程持续的时间。 ：第一阶段向上加速过程中火箭的质量。 ：第二阶段火箭剩余的质量。 ：火箭上升整个过程中空气阻力。 ：火箭的速度。 ：火箭上升的高度。 ：物体所受重力加速度。 ：火箭受到的恒定推力。 问题分析 这是一个研究火箭竖直向上发射的问题。火箭在竖直向上发射中，根据有燃料和燃料已用尽，可以分为两个阶段。第一阶段是燃料产生推力的过程，第二阶段是燃料全部消耗之后的上升过程。 在第一阶段中，燃料燃烧产生的推力是恒定的，但随着燃料的不断消耗，火箭的质量是变化的，因此，火箭的速度以及加速度是变化的，由牛顿第二定律，根据速度与时间关系，建立微分方程组。 在第二阶段中，燃料已经完全消耗，因此，火箭的质量恒定。引擎关闭即第一阶段终止第二阶段开始的时刻。由于火箭运动受到阻力的作用，火箭先加速，后减速。此阶段中，火箭将达到最高高度。运用MATLAB及微分方程可以求解出引擎关闭瞬间火箭到达最高点的时间和高度。 模型的建立与求解 5.1第一阶段（有燃料产生推力的过程） 由题目条件可知： 第一阶段持续的时间： 加速过程火箭的质量：（1） 火箭上升过程的空气阻力： （2）其中v为火箭的速度，方向是竖直向下。 由牛顿第二定律 （其中 m为物体质量，a为加速度），得出以下方程： （3） 其中(4) ,（5），（6），； 由（1）、（2）、（3）、（4）、（5）得出以下微分方程组： ， 5.2第二阶段（燃料消耗之后上升的过程） 由题目条件可知： 第二阶段，燃料已经全部用完，火箭只受到重力和阻力的作用，且此时，火箭剩余质量为：m=900-600=300kg。 对火箭进行受力分析得： (7) 联立（2）、（5）、（6）、(7) 得微分方程： 根据第一阶段方程知，当t=40时，y（40）= ？。 综上所述，燃料消耗之后上升的过程中有微分方程： ， 由MATLAB求解得： 引擎关闭瞬间火箭到达最高点的时间为： 引擎关闭瞬间火箭到达最高点的高度为： 模型的优缺点 优点 （1）该模型简单易懂，便于编程计算，极好的完成了目标函数所需要解决的问题。 缺点 （1）由于时间问题，未运用MATLAB准确计算出模型结果。 （2）在实际中，火箭上升问题是一个复杂的物理问题，受诸多因素的影响，存在大量的不确定性，所以模型会有一定的偏差。 参考文献 3