定积分应用.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 例. 设有一长度为 l, 线密度为? 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段 对质点的引力大小为 故垂直分力元素为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 试计算 利用对称性 棒对质点引力的水平分力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故棒对质点的引力大小为 棒对质点的引力的垂直分力为 说明: 2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处 1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 , 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 . 移到 b (a b) 处时克服引力作的功, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 引力大小为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意正负号 当质点位于棒的左端点垂线上时, 摆线 半径为 a 的圆周沿直线 无滑动地滚动时 , 其上 定点 M 的轨迹即为摆线 . 轨迹: 结束 心形线 或 尖点: (0, 0) 面积: 弧长: 轨迹: 外摆线的一种 动圆直径 = 定圆直径 = a 结束 心形线的另一种形式 即 尖点: (0, 0) 面积: 弧长: 结束 阿基米德螺线 物理意义: 动点 M 以常速 v 沿一射线运动, 该射线又 以定速 ? 绕极点转动时, 点M 的轨迹即为 阿基米德螺线 结束 对数螺线 的交角? 都相等: (等角螺线) 等比性: 过极点的射线与曲线交于 各线段 成等比级数, 公比为 弧长 : 曲率半径 : 曲线与所有过极点的射线 等角性 : 结束 双曲螺线 渐近点 : 极点 O 渐近线 : 曲率半径 : 扇形 曲线由两支组成 , 它们关于 y 轴对称 结束 或 星形线(内摆线的一种) 弧 长 : 所围面积 : 轨迹 : 半径为 半径为 a 的定圆滚动时, 其上 定点 M 的轨迹即为星形线 的动圆圆周沿 结束 双纽线 或 点击图中任意点 动画开始或暂停 结点(同拐点) : 在该点的切线斜率为±1 顶 点: 极值点: 曲率半径: 双纽面积: 极 值 : 对应点: 结束 伯努利双纽线的轨迹特点 双纽线上的点 M 满足 : 以 为圆心 , 为半径作圆, 自O 作射线交圆于P, Q 则双纽线右支上的点满足 : 由对称性 , 左支也有类似结果 结束 三叶玫瑰线 结束 四叶玫瑰线 结束 * * (L.P183) * * * * * * * * * * * * * * 表示为 什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 F 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 2) F 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “分割、线性化、合并、无限细化” 定积分定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个整体量 ; 如何应用定积分解决问题 ? 首先， 要在区间划分的基础上找出能够很大程度上取代局部部分量的线性近似值， 即寻找微分表达式 然后， 求出整体量的 这种分析方法称为微元法 精确值 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 其次， 考虑f(x)选取的可靠性，即确保能够做到 通常情况下，“以直代曲” “以匀代非匀” “以常代变”或近似的将[x,x+dx]看成一点的乘积运算就能满足此要求 微元法的实施： 第一步 求出局部量的 微分表达式 第二步 求出整体量的 积分表达式 近似值 精确值 （被称为F的微元） 平面图形的面积问题 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 例. 计算两条抛物线 在第一象限 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 计算抛物线 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极坐标情形 求由曲线 及