定积分与微积分基本定理.ppt

* * 定积分与微积分基本定理 返回目录 1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为 、 、 、 . 取极限 分割 近似代替 求和 返回目录 2.定积分的定义 如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,用分点a=x0x1…xi-1…xn=b将区间［a,b］等分成n个小区间,在每个小区间［xi-1,xi］上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式 .当n→+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x) 在区间［a,b］上的定积分, 记 作 , 即 = ,其中f(x)叫做 ,x叫做 ,f(x)dx叫做 ,区间［a,b］叫做 ,a叫做 ,b叫做 ,“∫”称为积分号. 积分上限 被积函数 积分变量 被积式 积分区间 积分下限 返回目录 3. 的实质 (1)当f(x)在区间［a,b］上大于0时, 表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的 .这也是定积分 的几何意义. (2)当f(x)在区间［a,b］上小于0时, 表示由直线x=a, x=b (a≠b), y=0和曲线 y=f(x) 所围成的曲边梯的 . 面积的相反数 面积 (3)当f(x)在区间［a,b］上有正有负时, 表示介于x=a,x=b(a≠b)之间x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和. 4.定积分的运算性质 (1) = . (2) = . (3) = . 返回目录 返回目录 5.微积分基本定理 一般地,如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么 =F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理,其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.F(b)-F(a)记为F(x) .即 =F(x) =F(b)-F(a). 6.利用微积分基本定理求定积分的关键是 可将基本初等函数的导数公式逆向使用. 求被积 函数的原函数 返回目录 考点一 利用微积分定理求定积分 计算下列定积分: (1) x(x+1)dx; (2) (e2x+ )dx; (3) sin2xdx. 【分析】求出被积函数的原函数,用微积分基本定理进行求解,计算 f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x).其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到. 返回目录 【解析】 (1)∵x(x+1)=x2+x且( x3)′=x2,( x2)′=x, ∴ x(x+1)dx= (x2+x)dx = x2dx+ xdx= =( ×23-0)+( ×22-0)= . 返回目录