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通过定义来求定积分通常是较困难的，我们将设法寻找其它计算途径。 我们已经知道，原函数与定积分是从两个角度引进的概念。但是，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，发现了它们之间的联系，从而定积分的计算将通过不定积分来完成。 * * 6-3 微积分学基本公式 复 习 变限积分函数求导公式 dt 一、变上限积分函数及其导数 第三节 微积分的基本公式 第六章 二、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 定理1（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数 如果 在 上连续， 则积分上限函数 dt 就是 上的一个原函数. 在 之间的联系. dx d dt 二、牛顿 – 莱布尼茨公式 ( 牛顿 —莱布尼茨公式) 证: 根据定理 1, 故 因此 得 函数 , 则 定理 2（微积分基本公式） 微积分基本公式表明： 注意： 求定积分的问题转化为求原函数的问题. dx 一个连续函数在区间[a,b]上的定积分， 等于它的 任意一个原函数在区间[a,b]上的增量. 当ab时， dx 仍成立. dx dx 求下列定积分 (1)原式 解 (2)原式 dx， 例1 解 解 求 dx 当x0时， 的一个原函数是 dx 面图形的面积. 面积 例2 计算曲线 在 上与x轴所围成的平 例3 解 原式 例4 求 例5 解 1 2 - 1 1 0 2 = + x 1 1 0 2 = + ò dx x x 故有 例6：求 解： y x o -1 解 例7 求 dx. 原式 dx dx dx dx 解 说明: 例8 设 求 dx. dx dx 在 上规定当x=1时， 原式= dx dx 在 上分段连续， 即被积函数有 有限个第一类间断点时， 牛顿莱布尼兹公式仍成立。 但若是第二类间断点， 该公式不成立. 如: dx dx 错误. 解 例9 设 求 dt. dt dt dt dt dt 当 时 当 时 例10 求 解 如图 例11 解