应用微积分.pptVIP

MATLAB数学实验 第五章 应用微积分 陆利正 * 主要内容 5.1 预备知识: 微积分的基本概念 5.2 数值微积分MATLAB指令 5.3 计算实验: 数值微积分 5.4 建模实验: 奶油蛋糕 5.1 预备知识: 微积分 1. 极限和连续 2. 微分与导数 3. 多元微积分学 4. 积分 5.2 数值微积分MATLAB指令 1. 数值差分? n 维向量 x = ( x1, x2, …, xn ) 的差分定义为 D x = ( x2－x1, x3－x2, …, xn－xn－1 ) diff(x) 如果 x 是向量, 返回向量 x 的差分 如果 x 是矩阵, 则按各列作差分 diff(x, k) k 阶差分, 即差分 k 次 5.2 数值微积分MATLAB指令 2. 数值导数和梯度 q = polyder(p) 求得由向量 p 表示的多项式导函数的向量表示 q Fx = gradient(F, x) 返回向量 F 表示的一元函数沿 x 方向的导函数F ?(x) 其中 x 是与 F 同维数的向量 [Fx, Fy] = gradient(F, x, y) 返回矩阵 F 表示的二元函数的数值梯度(F ?x, F ?y) 当 F 为 m×n 矩阵时, x 和 y 分别为 n 维和 m 维向量 quiver(X, Y, U, V) 在平面点 (X, Y) 上, 画 (U,V) 表示的方向箭头 例子 clear; x = [1 1.1 1.2 1.3]; y = x.^3; dy = diff(y) ./ diff(x) dy = gradient(y, x) 5.2 数值微积分MATLAB指令 3. 梯形积分法 z = trapz(x, y) 返回积分的近似值 x 表示积分区间的离散化向量 y 是与 x 同维数的向量, 表示被积函数 例 x = -1:0.1:1; y = exp(-x.^2); trapz(x, y) 5.2 数值微积分MATLAB指令 4. 高精度数值积分 quad(Fun, a, b) 自适应步长Simpson积分法 求得Fun在区间 [a, b] 上的定积分 quadl(Fun, a, b) 高精度Lobatto积分法, 精度比quad高 例 z = quadl(@(x)exp(-x.^2), -1, 1) 注：trapz, quad, quad1都不能用于求广义积分, 对于一些假奇异积分也不能直接求解, 如 5.2 数值微积分MATLAB指令 5. 矩形区域重积分 dblquad(Fun, a, b, c, d) 二重积分 triplequad(Fun, a, b, c, d, e, f) 三重积分 例2 计算重积分 5.3 计算实验: 数值微积分 1. 数值微分 若 f (x) 在 x = a 可导, 设 h 0 且足够小 % deriv.m: 自动步长的中心差商程序 5.3 计算实验: 数值微积分 3. 非矩形区域上的重积分 例 % dblquad2.m: 给出二重积分计算法 % clo 和 dhi 是 y 的下限和上限函数 c(x), d(x) % n 为区间的等分数 (默认100) 5.4 建模实验: 奶油蛋糕 例 5 某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日. 为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型, 学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数 r = 2 － (e2h + e－2h ) / 5, 0 h 1 (单位：米) 。问如何计算重量？ 习题 P95 ex4 ex5(2)(4)(6)(7) ex6 ex10 ex12 (勘误：n = 50) ex13 QA Thank you! * * 向前差商 向后差商 中心差商 function d = deriv(fname, a, h0, e) h = h0; d = (feval(fname, a+h) - feval(fname, a-h)) / 2 / h; d0 = d + 2*e; while abs(d - d0) e d0 = d; h0 = h; h = h0 / 2 d = (feval(fname, a+h) - feval(fname, a-h)) / 2 / h; end A a b d(x) c(x) 利用梯形法, 先将 [a, b] 区间 n 等分: hx = (b － a) / n, xi = a +