2013年北京市高考理科数学试题及答案.doc

绝密★启封前 2013年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合，，则 A． B． C． D． （2）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （3）“”是“曲线过坐标原点”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （4）执行如图所示的程序框图，输出的值为 A．1 B． C． D．（5）函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则 A． B．C． D． （6）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B．C． D． （7）直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于 A． B．2C． D． （8）设关于，的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，求得的取值范围是 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）在极坐标系中，点到直线的距离等于 ． （10）若等比数列满足，，则公比 ；前项和 ． （11）如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，若，，则 ， ． （12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ． （13）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ． （14）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 ． 三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤 （15）本小题共（13分） 在中，，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． （16）（本小题共13分） 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． （Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率； （Ⅱ）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （17）（本小题共14分） 如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证二面角的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值. （18）（本小题共13分） 设为曲线在点处的切线． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）证明：除切点之外，曲线在直线的下方． （19）（本小题共14分） 已知是椭圆上的三个点，是坐标原点. （Ⅰ）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由. （20）（本小题共13分） 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，． （Ⅰ）若为…，是一个周期为4的数列（即对任意，），写出的值; （Ⅱ）设是非负整数，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列; （Ⅲ）证明：若，，则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. 上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线上方，且(-m，m)在直线下方，解不等式组得m＜ 2