直线和平面的位置关系课件.ppt

1、斜线在平面内的射影 （1）点在平面内的射影 过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影. P ? Q （2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段. ? 平面的斜线 Q 斜足 P 点P到平面的斜线段 ? （3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影. 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影. P Q P 斜线在平面内的射影 斜线段在平面内的射影 ? 2、直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. B A ? a ?AOB（记为?）是a与?所成的角 最小角定理 斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角 C O D 进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角 直线和平面垂直：所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内 ?=00 00 ???900 00???900 证明：设直线OD是?内与a不同的任意一条直线,过点A引AC垂直OD垂足为C. 因为AB?AC，所以AB/AO?AC/AO 即sin??sin?AOC.因此???AOC 小结 （1）点在平面内的射影 （2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段 （3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影. 2、直线和平面所成的角 （4）射影定理 1、斜线在平面内的射影 （3）最小角定理 （1）斜线和平面成角 （2）直线和平面成角 P A O B 三垂线定理及逆定理 a A P o α 预习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？ 如果a α, a⊥AO， 思考a与PO的位置关 系如何？ a A P o α PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO 是PO在平面α内的射 影. 三垂线定理 性质定理 判定定理 性质定理 线面垂直 ① 线线垂直 ② 线面垂直 ③ 线线垂直 PO 平面PAO a⊥PO ③ 答：a⊥PO 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 为什么呢？ PA⊥α a α ① PA⊥a AO⊥a ② a⊥平面PAO 三垂线定理 P a A o α 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。 对三垂线定理的说明： 三垂线定理 * * * * * §7－3 直线和平面的位置关系 直线和平面 在日常生活中，我们可以观察到直线与平面的位置关系共有三种。 即：平行、相交、在平面内。 其中直线在平面内，由基本性质1决定。 对于直线和平面的前两种位置关系，分别给出下面的定义。 定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么称这条直线和这个平面平行。 定义2 如果一条直线和一个平面有且只有一个公共点。那么称这条直线和这个平面相交。 直线和平面 直线与平面的位置关系 ? 一个 a?? 直线与平面垂直 一个 a??=A 直线与平面斜交 直线与平面相交 没有 a∥? 直线与平面平行 直线不在平面内 无数个 a?? 直线在平面内 公共点个数 表示方法 图 示 位置关系 一、直线和平面平行 1、直线和平面平行的判定 直线 和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 ? ? l m α 例1。已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点 求证：EF∥平面BCD 证明：连接BD，在△ ABD中， ∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF ∥ BD ∴EF ∥平面BCD BD 平面BCD ∩ A B C D E F 又∵EF 平面BCD， 3。 两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同 一平面内,M、N是对角线AC、BF的中点 求证：MN ∥面BCE 分析：连接AE,CE 由M、N是中点知： MN ∥ CE D A N M C B F E 所以： MN ∥面B