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“导数及其应用”教学分析 福州格致中学 陈言 ?一、内容与要求 选修1-1 ：导数概念及其几何意义；基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则；函数的单调性与导数的关系；函数在某点取得极值的充要条件；生活中的优化问题举例。 选修2-2：导数概念及其几何意义；基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则；函数的单调性与导数的关系；函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；生活中的优化问题举例；定积分的概念；微积分基本定理。 二、内容安排 与选修1-1（文科）相比，选修2-2（理科）增加了定积分的概念与微积分基本定理等内容。相应地，选修1-1教科书中导数及其应用一章约16课时，选修2-2教科书中导数及其应用一章约24课时。 ??三．对教学的若干问题研究 1.导数的概念 导数是从大量问题中抽象出来的具有相同数学表达式的一个重要概念，所以在教学过程中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生亲历由平均化率过渡到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数. 本节重点是导数的概念的形成过程.难点是对导数概念的理解. 3.研究性学习 四．对教学的几点建议 1．关于极限概念的处理  教科书没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，用“趋近于”、“趋于”等通俗易懂的词对极限的过程进行描述。 * * 对导数概念的教学设计： （一）两个实例 教材给出以下两例： 例1国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（图中W1（t），W2（t）分别表示 甲、乙企业在时刻t的排污量）.试问哪个企业的治污效果较好？ 例2 投石入水，水面产生圆形波纹区. 圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大（如图），计算： （1）半径r从a增加到a+h时，圆面积相对于r的平均变化率； （2）半径r=a时，圆面积相对于r的瞬时变化率 以上两个问题从数学上看都是函数值的改变量与对应的自变量的改变量的比，及差商，它可以看成是函数在某个区间上的平均变化率。 （三）瞬时变化率 让所考虑的区间的一个端点a固定，当区间的长度趋于0时，如果平均变化率趋于一个极限值，这个极限值便可看成是函数在点a处的瞬时变化率。 瞬时速度，切线的斜率等都是相应函数的瞬时变化率。 结合两例，让学生体验寻求瞬时变化率（即平均变化率在某点处的极限）的过程，有利于学生理解导数的概念。 2.切线问题研究 以下证明定理1 *