2质点运动定律习题思考题.docVIP

习题2 2-1 质量为16kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为，，当时，，，。当时，求： (1) 质点的位矢； (2) 质点的速度。 解： ，有：， （1） 于是于是质点在时的速度 2-2 摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F= -kv2(k为正值常量)。设摩托快艇的质量为m，当摩托快艇发动机关闭后，求： (1) 求速率v随时间t的变化规律求路程x随时间t的变化规律证明速度v与路程x之间的关系为，其中。解：得：，分离变量有， 两边积分得：速率随时间变化的规律为； （2）由位移和速度的积分关系：， 积分有： 由于此题路程和位移相等，∴路程随时间变化的规律为： ； （3）由，，∴ 积分有： ，其中 2-3．质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。 解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为： 又由牛顿第二定律可得：，则 分离变量，可得：，两边同时积分，有：， 所以： （2）子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移，则： 考虑到，，可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。 2-4．一条质量分布均匀的绳子，质量为、长度为，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)． 解：考虑离轴线和间的一小段绳子（如图），它的长度为，质量 ，由于绳子作圆周运动，这小段绳子就有法向加速度，所以它的两端的张力不相等，设为和 ，其运动方程为： 因为； 于是有：， 得：，而 2-5．已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，是比例常数．设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。 解：由题意：，再由牛顿第二定律可得：， 考虑到，，可推出： 两边同时取积分，则： 有： 2-6．一质量为的质点，在平面上运动，受到外力 (SI)的作用，时，它的初速度为 (SI)，求时质点的速度及受到的法向力。 解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。 由：，有：，两边积分有： ，∴， 考虑到，，有 由于在自然坐标系中，，而（时），表明在时，切向速度方向就是方向，所以，此时法向的力是方向的，则利用，将代入有，∴。 2-7．如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？ 解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。 即： 可得： 解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为，列式有： 联立得：， 有：。 2-8．如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。 解法一：在斜面具有不同的加速度的时候， 木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得： （1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为： 可计算得到：此时的 （2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为： 可计算得到：此时的，所以：。 解法二：考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中， 将物体m受力沿和方向分解，如图示，同时 考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式： 方向： 方向： 考虑到，有：， 解得：。 ∴的取值范围：。 2-9 密度为ρ1的液体，上方悬一长为l，密度为ρ2的均质细棒AB，棒的B端刚好和液面接触。今剪断绳，并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求： (1) 棒刚好全部浸入液体时的速度； (2) 若ρ2ρ1/2，棒进入液体的最大深度； (3) 棒下落过程中能达到的最大速度。 解：得： ，考虑到，， 分离变量，有：， 棒刚好全部浸入液体时，速度为，此时, 则两边积分， 得：，∴。 （2）由来看，棒可以全部浸入液体的条件为， 即：，假若有条件，则棒不能全部浸入液体； 若，设棒进入液体的最大深度为，由积分 可得：，考虑到棒在最大深度时速度为零，有：。 （3）由牛顿运动定律知，当时，，速度最大（设为） 有：，即， 由积分，有： ，∴。 2-10．圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？ 解：取容器内稳定旋转液面某处一小块液体微元，受重力和支持力的作用，考虑剖面，受力分析如图示。列式： ①， ② ①/②有：，又由导数几何意义，有： ∴ ，积分有： 当 时 所以