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二次函数 * * 要点·疑点·考点 1.二次函数的解析表达式有 ①一般式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)； ②顶点式 f(x)=a(x-k)2+m(a≠0)； ③零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 2.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下讨论： ①若h∈[m，n]，则ymin=f(h)=k，ymax=max{f(m),f(n)} ②若h∈[m，n]，则ymin=min{f(m),f(n)}，ymax=max{f(m),f(n)} (a＜0时可仿此讨论) 3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[p，q]上的最值问题． 一般情况下，需要分：-b/2a＜p，p≤-b/2a≤q和-b/2a＞q三种情况讨论解决. 4.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从三个方面考虑： ①判别式； ②区间端点函数值的正负； ③对称轴 x=-b/2a 与区间端点的关系 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根的分布问题，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(不妨设a＞0) ①若两根都小于实数α，则有 ②若两根都大于实数α，则有 ③若两根在区间(α，β)内，则有 ④若一根小于α，另一根小于β，则有 ⑤若两根中只有一根在区间(α，β)内,则有 答案：(1) 6 (2)19 (3)C 课 前 热 身 1.二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有两个实根x1,x2， 则x1+x2等于_________. 2.函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈(-∞,-1]时是减函数，当x∈(-1,+∞)时是增函数，则f(2)= _______. 3.关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大，另一根比1小，则有( ) (A)-1＜a＜1 (B)a＜-2或a＞1 (C)-2＜a＜1 (D)a＜-1或a＞2 4.设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则 (x-1)2+(y-1)2的最小值是( ) (A)- (B)18 (C)8 (D)34 5.设函数f(x)=|x|·x+bx+c，给出下列命题： ①b=0,c＞0时，f(x)=0只有一个实数根； ②c=0时，y=f(x)是奇函数； ③y=f(x)的图象关于点(0，c)对称； ④方程f(x)=0至多有2个实数根. 上述命题中的所有正确命题序号是_______ ①②③ C 能力·思维·方法 【解题回顾】对x∈R而言，y=ax2+bx+c(a≠0)的极值就是最值．若x只在某区间内取值，最值与极值便不可混淆了 1.已知对于x的所有实数值，二次函数 的值都非负，求关于x的方程 的根的范围. 2．已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围 【解题回顾】①在本题解题过程中，容易将f(x)=mx2+(m-3)x+1看成是二次函数，从而忽视对m=0的讨论 ②实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实根异号的充要条件 为 ；有两正实根的充要条件是 ；有两负实 根的充要条件是 【解题回顾】(1)含有参数的二次函数的最值问题，因其顶点相对于定义域区间的位置不同，其最值状况也不同．所以要根据二者的相关位置进行分类讨论 (2)本题是“定”二次函数，“动”区间，依照此法也可以讨论“动”二次函数，“定”区间的二次函数问题 3.函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t，t+1](t∈R)上的最小值记为g(t). (1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值 【解题回顾】此题涉及到一次函数、二次函数的图象，一元二次方程，解不等式，一元二次函数在区间上的取值范围等多个知识点.由于二次函数问题是中学数学的核心问题之一，是考查学生逻辑思维能力的重要题材，也是高考的热点问题，因此要熟练掌握二次函数(图象)与方程、不等式的相互联系与相互转化. 4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a,b,c满足a＞b＞c，a+b+c=0(a,b,c∈R且a≠0) (1)求证