2012全国高中数学联赛广东预赛解答（最终）.doc

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题 （考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上 1. 已知，则 . 答案： （或） 解: 2. 函数的最小值等于 . 答案：1 解：因为 所以的最小值为1. 3. 已知 ，其中为常数，且. 若 为常数，则的值为 . 答案： 解：由于 是常数，故，且. 将代入整理得，分解因式得. 若，则，因此，与条件相矛盾. 故，即. 4. 已知方程有两个相异的正实数解，则实数的取值范围是 . 答案： 解法一：令，则原方程化为. 根据题意，方程有两个大于1的相异实根. 令，则 解法二：令，则原方程化为. 注意到这个关于的方程最多有两个解，而由严格单调递增知每个最多对应一个，因此所求的应当使有两个相异的实数解，且满足的两个实数都是正的. 由于都是正的，故都应大于1. 由于，故，因此必须满足，及. 因此的取值范围为. 因此的取值范围为. 5. 将25个数排成五行五列： 已知第一行,,,,成等差数列，而每一列，，，，（）都成等比数列，且五个公比全相等. 若,,,则的值为______. 答案： 解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等. 由,知且公差为6，故,. 由,知公比. 若，则,，故； 若，则,，故. 6.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为______. 解：. 函数与函数互为反函数，图象关于对称. 函数上的点到直线的距离为. 设函数. 由图象关于对称得：最小值为. 7.将2个和2个共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 . 答案：3960 解：使得2个既不同行也不同列的填法有种，使得2个既不同行也不同列的填法有种，故由乘法原理，这样的填法共有种. 其中不合要求的有两种情况：2个所在的方格内都填有的情况有72种；2个所在的方格内恰有1个方格填有的情况有种. 所以，符合条件的填法共有种. 8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为，则该梯形的周长为 . 答案：. 解：设梯形的上底长为，下底长为，高为，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为，因此，即. 同理有，两式相除得，去分母化简得，代入得. 注意到直角腰长等于高，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为. 将代入化简得. 结合可解得，因此，由勾股定理知另一条腰的长度为，因此梯形的周长为. 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．（本小题满分16分）设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点. 若，证明：直线的斜率满足. 解法一：设. 由，有， 即. ……4分 从而 所以，，且. 所以， ……16分 解法二：设. 则线段的中点. . . ……8分 . ……16分 2．（本小题满分20分） 设非负实数，， 满足. 求 的最值.显然有，. ……………5分 根据AM-GM不等式可得 ……………15分 所以S 的最值12，这时. ……………20分 3．（本小题满分20分）求出所有的函数使得对于所有， ，都能被整除. 解：根据题目的条件，令，则能被整除. 因此能被整除，也就是能被整除. 因为与互素，所以能被整除，且，所以，. ……………10分 令，则能被整除，因此.从而，对所有x. 令，则能被整除.从而，对所有y. 综上所述，，对所有x. ……………20分 1