高等数学课件D81基本概念.ppt

第八章 第一节 例3. 讨论函数 3. 多元函数的极限 备用题 1 . 3. 证明 * 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用 第八章 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念 一、 区域 1. 邻域 点集 称为点 P0 的?邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 。 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点 若对任意给定的? , 点P 的去心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . E 的边界点 ) D (3) 开区域及闭区域 ? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ? 若点集 E ??E , 则称 E 为闭集； ? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; ? 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 ? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 整个平面 ? 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o ? 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P?D 与某定点 A 的距离 ?AP?? K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无 3. n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间, n 维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标 . 记作 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个点, 当所有坐标 称该元素为 中的零元, 记作 O . 的距离记作 中点 a 的 ? 邻域为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定为 与零元 O 的距离为 二、多元函数的概念 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射 称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 二元函数 定义域为 圆域 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 ? . 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 三、多元函数的极限 定义2. 设 n 元函数 点 , 则称 A 为函数 (也称为 n 重极限) 当 n =2 时, 记 二元函数的极限可写作： P0 是 D 的聚 若存在常数 A , 对一 记作 都有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 ? , 总存在正数? , 切 例1. 设 求证： 证: 故 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 例2. 设 求证： 证： 故 总有 要证 机动 目录 上页