定积分复习课.ppt

一、主要内容 利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算 解 例12 例13 设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续，且单调不增 证明 对任何 有 证一 由积分中值定理 再由f ( x )单调不增 * 定积分 复习课 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 定积分 存在定理 广义积分 定积分 的性质 牛顿-莱布尼茨公式 定积分的 计算法 被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限 积分上限 积分和 注意： 二、内容提要 1 定积分的定义 定理1 定理2 三、存在定理 几何意义： 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 一般情况： 3 定积分的性质 线性性质 可加性 非负性 比较定理 估值定理 若M 和 m是 上的最大值及最小值， 积分中值定理 变上限定积分及其导数 上限是x的函数a(x)，求导必须按复合函数求导法则进行 原函数存在定理 牛顿—莱布尼茨公式 定积分的计算法 （1）换元法 换元积分公式 （2）分部积分法 分部积分公式 微积分基本公式 广义积分 (1)无穷限的广义积分 (2)无界函数的广义积分 三、典型例题 例1 解 一.选择题 C A D A B A C B 例2 广义积分中值定理 设f(x) 在 [a ,b]上连续， g(x) 在 [a ,b]上可积，且不变号，则 证 因f(x) 在 [a ,b]上连续，故f(x) 在 [a ,b]上必取得 最大值M和最小值m， 又g(x) 在 [a ,b]上不变号 故不妨设 若 则由上式知 可取[a ,b]内任一点 若 由介值定理 例3 证明 证一 由广义积分中值定理 证二 例4 求极限 证三 解 ① ② 如果能把数列的通项写成 的形式 就可以利用 或 把数列极限问题转化为定积分 的计算问题 与数列的极限有着密切联系 由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分 解 例 5 解 是偶函数, 例 6 证明Cauchy-Schwarz不等式 证 例7 记 则 另证 定积分不等式的证明方法——辅助函数法 ①将一个积分限换成变量，移项使一端为 0 另一端即为所求作的辅助函数 F ( x ) ② 判定单调性，与端点的值进行 比较即得证 例8 设 求 解 这是 型未定式的极限 解 由L’Hospital法则 a = 0 或 b =1 将 a = 0 代入知不合题意 故b =1 例9 试确定 a , b 的值使 证明 证一 由定积分的定义 （ 因 f ( x ) 是凸函数） 证二 记 则a 0 例10 设 上凸 故其上任一点的切线都在曲线的上方 在 x = a 处的切线方程为 证三 易证明当 t 0 时有 或 又曲线 例11 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续且 f ( x ) 0 证明 令 则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在( a , b ) 内可导 即 F( x ) 单调增 设 则 由介值定理得 即 证 *