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高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第五节 函数的极值与最大值最小值 定义 设函数f(x)在点x0之某 邻域内有定义,若对于该邻域 内的一切x(x0除外),恒有 x y . f(x0)f(x) (或f(x0)f(x) )则称f(x)在点x0处取得极大值(或极 小值),把x0点称为f(x)的极大值点(或极小值点) 函数的极大值和极小值统称为极值;极大值点和极小 值点统称为极值点 由函数极值之定义可知,其概念是一个局部性的概念. 函数在某区间内某一点取得极大值(或极小值),在已给区 间内,函数可能取得多个极大值和极小值. 在图中我们可 看到极值处的导数是水平的,即可导函数在极值点的导数 为0. 定理1(必要条件) 若函数f(x)在点x0可导且取得极值f(x0), 则f’(x0)=0, 证明: 设f(x0)为极大值,当正数h很小时,有 由于f(x)在点x0可导,有它左右极限相等,有 使f’(x0)=0的点x0称为函数f(x)的驻点, 定理1 说明如果函数可微,只能在驻点处取得极值, 取得极值 的点称为极值点.还有是不可导的点.其他的点都不必考虑 .但驻点不一定是极值点,例如y=x3,y’(0)=0,x=0不是极值点. 为了研究极值点我们研究定理2 定理2 (第一充分条件) 设函数f(x)在点x0连续,且在x0的某 一空心邻域U0(x0,δ)内可导,x ∈U0 (1)若xx0时,f’(x)0;xx0时,f’(x)0,则f(x0)为极大值. (2)若xx0时,f’(x) 0;xx0时,f’(x) 0,则f(x0)为极小值. (3)若不论xx0或xx0, f’(x) 都不变号,则f(x0)不是极值. 证明: 我们只证明(1),同理可证明(2),(3). 由(1)的假设和定理1知f(x)在(x0-δ, x0]的邻域内递增, 在[x0,, x0+δ)的邻域内递减,所以在(x0-δ,x0+δ)都有 f(x0) f(x) 证明他是极大值. x0 x0 x0 例2 求函数f(x)=x2e-x的极值. 解： f’(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x, 令f’(x)=0, 得到 x=0, x=2 x=0 当x0时,f’(x)0 当0x2时f’(x)0 所以是极小值f(0)=0, x=2 当0x2时, f’(x)0 ,当x2时, f’(x)0 , f(2)=4/e2是极大值 为了使我们容易判别极大值和极小值，现在研究定理3 定理3 （第二充分条件） 设函数f(x)在x0的某邻域内可 导,且f’(x0) =0,f”(x0)≠0. (1)若f”(x0)0,则f(x0)是极大值. (2)若f”(x0)0,则f(x0)是极小值. 证明: 我们只证明(1),同理可以证明(2),因为 因为f’(x0)=0 当x∈(x0-δ,x0)时f’(x)0,当x∈(x0,x0+ δ)时f’(x)0,由定理 2可知f(x0)是极大值. 存在δ0,当0|x-x0| δ时,有f’(x)/(x-x0)0, 二阶导数表示 切线的变化率 x0 x0 这里的记忆方法同曲线的凹凸性一样,上凸的必定是极大值. 例3 求函数 的极值 解: 由于x=0是不可导点,它的二阶导数不存在,只好用第一判别法. 为极小值 二 函数之最大值,最小值 函数的极值是局部性的, 它是在某一个邻域内的函 数的最大(小)值 例如极值f(x1)在区间上它 f(x1) f(x3) f(x4) f(x2) x1 x2 x3 x4 y=f(x) x y 不是最值.最值是函数在区间内的最大或最小的函数值.它 可能在区间内取到(此时它是极值),也可能在边界上得到 (此时它不一定是极值). 在闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值.---闭 区间的性质. 求函数在闭区间内的最值的步骤是 计算f’(x),求出(a,b)内的所有驻点和不可导点.即找到全 部 可能极值点. (2) 计算上述各点的函数值. 比较上述函数值的大小,其中最大的是最大值,最小的 是最小值 例4 取函数 在[0,2]上的最大值和最小值 解: 及不可导的点x=1,区间的端