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高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第五节 平面及其方程 空间直线的方程. 一 平面的点法式方程 量n={A,B,C}已知时,平面π的位置就确定了. 本节和下一节里,我们用向量作为工具,在空间直角坐标 系中讨论最简单的空间图形---平面和直线.建立平面和 如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的 法线向量. 简称法向量.由于法向量与平面垂直,所以法向量 与平面上的任一向量都垂直. 我们知道,过空间一点可作而只能作一个平面垂直于一已知 直线, 所以,当平面π上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法向 n x z y M0 M π 它和平面π的法向量垂直. n⊥M0M=0 即 n·M0M=0 方程(1)是平面π上一点所满足的方程. M(x,y,z)是平面π上的一点,向量M0M是平面上的一条直线, 解:由平面方程(1),所求的平面方程为 解:由于过已知三点的平面法向量n和M1M2,M1M3都垂直,而 反之,如果M(x,y,z)不在平面π上,则它不能满足方程(1) 式.所以方程(1)就是过点M0(x0,y0,z0),而以n=(A,B,C)为法 向量的平面方程,称为平面π的点法式方程. 例1 求过点(1,-2,0),且以n={6,-4,3}为法向量的平面方程. 例2 求过三点M1(0,4,-5), M 2(-1,-2,2), M3(4,2,1).的平面方程 样的. 这里的M0可以为上面三点中的任意一点,其平面方程是一 二, 平面的一般方程 平面方程. 平面的点法式方程是x,y,z的三元一次方程,由于任一平面 都可以 用它上面的一点及它的法向量来确定,所以任一平 面都可以用三元 一次方程来表示. 设有一个三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0 (2) 其中A,B,C不 同时 为零. 我们取满足方程(2)的一组数 x0,y0,z0.即该点在 平面上. Ax0 +By0 +Cz0 +D=0 (3) 由(2)式减去(3)式得到 A(x-x0 ) +B(y-y0 )+C(z-z0 )=0 (4) 这就是通过点M0(x0,y0,z0),且以n={A,B,C}为法线向量的 代入,即满足其方程. 又由于方程(4)和方程(2)同解,所以方程(2)表示一个平面. 方程(2)叫做平面的一般方程. 其中 n={A,B,C}为该平面的 法线向量. 例如: 3x-4y+z-9=0为平面方程,则n={3,-4,1}为该平面的一 个法线向量. 2.对于一些特殊的三元一次方程,应该熟悉它们的图形 特点,例如 (1)D=0, 方程 Ax+By+Cz=0 表示一个通过坐标原点的平面.用坐标原点的坐标(0,0,0) 于y轴,x轴的平面. 缺少x,y,z中的那一项,缺就表示平面平行于那个轴 (2).C=0, 方程Ax+By+D=0 表示一个平行于z轴的平面.这是因为C=0,即平面的法向量 n={A,B,0}.在z轴上的投影为0,这个法向量就垂直于z轴. 所以这平面就平行于z轴. 同理可知,B=0,方程 Ax+Cz+D=0 , A=0,方程 By+Cz+D=0 . 平面的法向量分别是n={A,0,C}和n={0,B,C}它们分别平行 平面.(如果D=0,表示重合于xOy平面) 这表示缺少常数项和x,y,z中的那一项,平面就通过那一轴. (3).C=0,D=0 方程Ax+By=0 表示通过z轴的平面. B=0,D=0方程Ax+Cz=0表示通过y轴的平面. A=0,D=0方程By+Cz=0 表示通过x轴的平面. (4)A=0,B=0方程Cz+D=0 表示一个平行于(含重合于)XoY的平面. 这是因为A=B=0,法向量为n={0,0,C}表示平面的法向量在x 轴和y轴上的投影为0,这法向量必定同时垂直于x轴和y轴. 因此,方程所确定的平面平行于x轴和y轴,也就是平行于xOy 的平面. 例3 指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面. 同理方程Ax+D=0和By+D=0分别表示平行(含重合于)yOz 平面和xOz平面的平面. 方程缺少x,y,z中的那两项,平面就平行于缺少的轴所组成 y=0,x=3 y x z 3y-1=0 x z x- y=0 y 分析:(1) x=0,即是yoz平面. (缺少 y,z,D,表示通过原点的平行y,z 轴的平面) (2)3y-1=0即y=1/3 平行于xOz 平面. 且离xOz平面的距离为1/3. (3)2x-3y-6=0 这是平行于z轴的 平面. 且在两坐标轴上的交点 是(3,0,0)(0,-2,0) 即x=0,y=-2. x y z y+z=1 (0,1,0) (0,0,1) x-2z=0 y x z x-2z=0 它的法向量为{6,5,-1} x y z n={6,5,