等差数列的概念教学设计.doc

6.2.1 等差数列的【教学目标】 1. 2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题． 3. 通过，培养学生的观察、分析的能力 【教学重点】 ． 【教学难点】 数列通项公式． 【教学方法】采用自主探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性在教师的启发指导下，强调学生主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生获得知识又发展智能的目的 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 某工厂的仓库里堆放一批钢管（参见教材图6-1），共堆放了7层，试从上到下列出每层钢管的数量． 教师出示引例，并提出问题． 学生探究、解答． 希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程． 新 课 新 课 新 课 新 课 新 课 新 课 从上例中，我们得到一个数列，每层钢管数为 4，5，6，7，8，9，10. 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） ． 练习一 抢答：下列数列是否为等差数列1，2，4，6，8，10，12，0，1，2，3，4，5，6，3，3，3，3，3，3，32，4，7，11，16，8，6，4，0，2，4，3，0，3，6，9，3，3，3，3，3，3，3也是等差数列，公差0．公差为0的数列叫做常数列． 3．等差数列的通项公式 首项是a1，公差是d的等差数列{an}的通项公式可以表示为 an＝a1＋(n－a1和公差d，便可求得等差数列的任意项an． 事实上，等差数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个． 例1 求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项． 解 因为a1= 8，d = 5－－an = 8+(n-1)×(-3)， 即an = －a20 = －49. 例2 等差数列－－－－a1= －－－－－an = －－－－－－an}中： （1）d =－a7 = 8，求a1； （2）a1 = 12，a6 = 27，求d． 例 在3与7之间插入一个数A，使3，A，7成等差数列A．3，A，7成等差数列A－3 = 7－A，A=5． 5．等差中项的定义 一般地，如果a，A，成等差数列A 叫做a与b的等差中项． 6．等差中项公式 如果A 是a与b的等差中项，则 A = ． 这就表明，两个数的等差中项就是它们的算术平均数． 7．一个结论 在等差数列a1，a2，a3，…，an，…a2 = ， a3 = ， …… an = ， …… 这就是说，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 练习四 求下列各组数的等差中项： （1）732与－与42． 例4 已知一个等差数列的第3项是5，第8项是20，求它的第25项． 解 因为a 3 = 5，a 8 = 20，根据通项公式得 整理，得 解此方程组，得a1 = －a25 = －－71. 强调：已知首项a1和公差d，便可求得等差数列的任意项an． 练习五 （1）已知等差数列{an }中，a1 = 3，an = 21，d = 2，求n． （2）已知等差数列{an }中，a4 = 10，a5 = 6，求a8 和d． 例5 梯子的最高一级是33 cm，最低一级是89 cm，中间还有7级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度． 解 用{an }表示题中的等差数列．已知a1= 33，an = 89，n = 9， 则a9 = 33+(9－a2 = 33 + 7 = 40， a3 = 40 + 7 = 47， a4 = 47 + 7 = 54， a5 = 54 + 7 = 61， a6 = 61 + 7 = 68， a7 = 68 + 7 = 75， a8 = 75 + 7 = 82． 即梯子中间各级的宽从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm． 例6 已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列．求证：它们的比是3∶4∶5． 证明 设这个直角三角形的三边长分别为 a－a，a+d． 根据勾股定理，得 (a－a2 =(a+d)2． 解得a = 4d ． 于是这个直角三角形的三边长是3d，4d，5d，即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5． 师：请同学们仔细观察，看看这个数列有什么特点？ 学生观察、回答． 教师总结特征： 从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）． 我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列． 教师板书定义． 师：等差数列在生活中，谁能再举几个？学生an}的首项是a1，公差是d