导 数 的 应 用.doc

导 数 的 应 用 撰　稿：王经环　　　编　审：安东明　　　责　编：辛文升 　　重点难点分析： 　　1．函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。 　　2．函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f(x)的符号产生变化。 　　3．函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。 　　4．在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当f(x)=0在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。 　　典型例题 　　例1．设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。 　　解析：f(x)=3ax2+1，若a≥0, f(x)0，对xR恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾。 　　若a0， f(x)=,此时f(x)恰有三个单调区间。 　　 a0且单调减区间为，单调增区间为。 　　例2．求函数y=2ex+e-x的极值。 　　解析：y=2ex-e-x，令y=0, 即2e2x=1, 　　列表： x y - 0 + y ↘ 极小值 ↗ 　　 y极小。　　例3．求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值。 　　解析：f(x)=3-3x2, 令f(x)=0，则x1=-1，x2=1。　　则f(-1)=-2, f(1)=2，又, 　　 [f(x)]max=2, [f(x)]min=-18。　　例4．如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。 　　解析：设点B的坐标为(x,0)且0x2, 　　 f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2, 点C的坐标为(4-x,0), 　　 |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。　　 矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3 　　　　　　　　 y=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8) 　　令y=0，解得， 0x2, ∴ 取。 　　 极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值。 　　例5．一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？ 　　解析：如图示设A点为渔艇处，BC为海岸线，C为渔站，且AB=9km, 　　设D为海岸线上一点，CD=x，只需将时间T表示为x的函数， 　　， 　　由A到C的时间T，则（0≤x≤15）　　（0≤x≤15） 　　令T=0，解得x=3，在x=3附近，T由负到正， 　　因此在x=3处取得最小值，又，比较可知T(3)最小。 　　训练题： 　　1．函数y=4x2(x-2), x[-2，2]的最小值是_____。 　　2．一个外直径为10cm的球，球壳厚度为，则球壳体积的近似值为____。 　　3．函数f(x)=x4-5x2+4的极大值是______，极小值是_____。 　　4．做一个容积为256升的方底无盖水箱，问高为多少时最省材料？ 　　参考答案： 　　1. –64　　2. 19.63cm3　　3. 4；　　4. 设高为h，底边长为a，则所用材料为S=a2+4ah,而a2h=256，a(0,+∞), 　　, a∈(0,+∞), 　　令S(a)=, ∴ a=8。　　显然当0a8时，S(a)0，当a8时，S(a)0，因此当a=8时，S最小，此时h=4。 导 数 应 用 举 例 　　导数部分要求初步学会运用导数的概念、公式及相关知识解决数学问题。教材中运用导数解决单调性和最值等问题的题型欠丰富。下面提供一些例题供学习参考。 　　1 单调性问题　　例1．已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-λf(x), 试问：是否存在实数λ，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数。 　　解：假设存在实数λ满足题设。 　　F(x)=g(x)-λf(x)=(x4+2x2+2)-λ(x2+1)=x4-(λ-2)x2+(2-λ), 　　F(x)=4x3-2(λ-2)x, 　　令4x3-2(λ