1-1函数 数列的极限.ppt

第一章 二、 映射 例4. 已知函数 2. 函数的几种特性 (3) 奇偶性 又如, (4) 周期性 3. 反函数与复合函数 (2) 复合函数 4. 初等函数 4. 初等函数 4. 初等函数 非初等函数举例: 非初等函数举例: 例5. 求 第二节 数列的极限 一 、数列极限的定义 例2. 已知 例3. 设 二、收敛数列的性质 例4. 证明数列 收敛数列一定有界. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 问题 作业与练习 备选题 刘徽(约225 – 295年) 柯西(1789 – 1857) 例6. 设 证明数列 极限存在 . (P52～P54) 证: 利用二项式公式 , 有 大 大 正 比较可知 又 根据准则 2 可知数列 有极限 . 记此极限为 e ,即 e 为无理数 , 其值为 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 问题 2. 已知： 求 时, 说明理由. 设 由递推式两边取极限得 不对! 此处 下述作法是否正确? 1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 小结 3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 引例. 设有半径为 r 的圆 , 面积An 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时, An 无限逼近 S (刘徽割圆术) . 用其内接正 n 边形的 数学语言描述: 当 n N 时, 总有 一 、数列极限的定义 $ 正整数N， 定义1:自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 观察数列 收 敛 观察数列 趋势不定 发 散 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: 当 n N 时, 总有 定义2： 若数列 及常数a 有下列关系 : 或 则称该数列 的极限为 a , 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 当 n N 时, 总有 当 n N 时, 总有 即 定义: 几何解释 : 当 n N 时, 总有 注： 数列极限存在与否与前有限项无关 当 n N 时, 总有 例1 证 所以, 当 n N 时, 总有 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为 0 . 唯一性 有界性 保号性 数列与子数列 四则运算和复合运算法则（第五节） 极限存在准则(第六节） 二、收敛数列的性质 1、 收敛数列的极限唯一. 如何证明极限的唯一性呢？ 常用反证法 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 使当n N时 , 有 例4. 证明：数列 发散. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 是发散的. 但因 交替取值 1 与－1 ,而此二数 不可能同时落在长度为 1 的开区间 内,因此该数列发散 . 2、 极限的有界性定理 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,数列 虽有界但不收敛 . 证: 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 有 a. b. c. 3、 极限的保号性定理 0 0 0 lim $ T = ￥ ? n n n x N n N a x 时，有 当 b x N n N b a x n n n $ T = ￥ ? 时，有 当 0 lim b a b x a x n n n T = ￥ ? 且 lim 若 且 时, 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 收敛数列的保号性. a. b. c. 4、数列与子数列之间的极限 ********************* 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 发散 ! 则原数列一定发散 . 由此性质可知 , 若数列有两个子数列