1-2函数的极限.ppt

第三节函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 例6. 证明 例6. 证明 两种特殊情况 : 一、自变量趋于有限值时函数的极限 定义1 . 设函数 例1. 证明 例2. 证明 例3. 证明 例5. 证明: 当 3. 左极限与右极限 例6. 设函数 二、函数极限的性质 3、函数极限的局部保号性 推论. 若在 定理4. 注 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 不存在 . 法2 找两个趋于 的不同数列 及 使 例. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于零的数列 及 有 由定理4 知 不存在 . 三、极限存在准则（第六节） 函数极限存在的夹逼准则。 夹逼准则 (准则I`) (P50) ( 利用定理4及数列的夹逼准则可证 ) * 第一章 自变量变化过程的六种形式: 二 、函数极限的性质 三 、极限存在准则 一、函数极限的定义 第三节函数的极限 定义2 . 设函数 大于某一正数 则称常数 A 为函数 时的极限, 记作 时有定义,若 当 时， 几何解释: 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 当 时， 注: 证: 取 因此 就有 故 欲使 即 当 时, 有 当 时, 有 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 几何意义 : 例， 都有水平渐近线 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 几何意义 : 例， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 1. 时函数极限的定义 引例.测量正方形面积. 面积为A ) 边长为 (真值: 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度? , 要求 确定直接观测值精度 ? : 在点 邻域内有定义 , 当 时, 总有 则称常数A为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 的某去心 几何解释: 极限存在 函数局部有界 这表明: 当 时, 有 证: 故 对任意的 当 时 , 因此 总有 证: 欲使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 证: 故 取 当 时 , 必有 因此 例4. 证明 证: 故 取 当 时 , 必有 因此 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 左极限 : 右极限 : 定理 . ( P39 题11) 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 因为 显然 所以 不存在 . 唯一性 局部有界性 局部保号性 函数极限与数列极限的关系 四则运算和复合运算法则（第五节） 极限存在准则(第六节） 二、函数极限的性质 1、函数极限的唯一性。 2、函数极限的局部有界性。 如果 那么 和 使得当 时，有 定理3 .若 且 A 0 , 则存在 ( A 0 ) (P37定理3) 有 且 A 0 , 证: 已知 即 当 时, 有 当 A 0 时, 取正数 则在对应的邻域 上 ( 0) 则存在 ( A 0 ) 时， 当 若取 则在对应的邻域 上 若 则存在 使当 时, 有 (P37 推论) 分析: 定理3`: 的某去心邻域内 , 且 则 证: 用反证法. 则由定理 1, 的某去心邻域 , 使在该邻域内 与已知 所以假设不真, (同样可证 的情形) 思考: 若定理 2 中的条件改为 是否必有 不能! 存在 如 假设 A 0 , 条件矛盾, 故 4、函数极限与数列极限的关系 定义 则 有定义, 且 设 即 当 有 有定义 , 且 对上述 ? , 时, 有 于是当 时 故 可用反证法证明. (略) 有 证： 当 “ ” “ ” *