1-4 极限存在准则 无穷小的比较.ppt

第六节 注 例1. 求 例2. 求 2. 例6.求 例7. 求 备选题 小结 两个重要极限 练习 第七节 无穷小的比较 定义. 例1. 证明: 当 定理1. 定理2 . 设 说明: (3) 因式代替规则: 例2. 求 内容小结 2. 等价无穷小替换定理 例如 , 当 ～ 时 ～ ～ 又如 ， 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, ～ 且 时, ～ 证: ～ ～ ～ 证: 即 即 例如, ～ ～ 故 且 存在 , 则 证: 例如, 注：1）只有乘积或商当中才能用 2）和、差当中不能用 设对同一变化过程 , ? , ? 为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若 ? = o(?) , (2) 和差代替规则: 例如, 例如, 界, 则 例如, ? 例1. 求 解: 原式 解: * 本次课内容 极限存在准则 重要极限 等价无穷小替换 极限存在准则及 两个重要极限 第一章 夹逼准则; 单调有界准则. 1. 夹逼准则 (准则I) (P50) 夹逼准则 (准则I`) 圆扇形AOB的面积 证:当 时， △AOB的面积＜ ＜△AOD的面积 即 亦即 显然有 故有 注 当 时 解: 解: 原式 = 例3. 求 解: 令 则 因此 原式 例4. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: 说明: 注意 证: 利用夹逼准则 .由 例5. 证明 且 命题得证。 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) 例6. 设 证明数列 极限存在 . (P52～P54) 证: 利用二项式公式 , 有 大 大 正 比较可知 又 根据准则 2 可知数列 有极限 . 记此极限为 e ,即 e 为无理数 , 其值为 证明 单增； 单减。 利用平均值不等式 证: 当 时, 设 则 当 则 从而有 故 说明: 此极限也可写为 时, 令 解: 令 则 说明：若利用 则 原式 解:原式 = 设 且 求 , 故极限存在， 设 , 且 求 解： 设 则由递推公式有 ∴数列单调递减有下界， 故 利用极限存在准则 备选题 数列极限存在的夹逼准则；单调有界原理。 函数极限存在的夹逼准则 或 注: 代表相同的表达式 填空题 ( 1～4 ) 第一章 都是无穷小, 引例 . 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 若 则称 ? 是比? 高阶的无穷小, 若 若 若 若 或 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是比? 低阶的无穷小; 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 则称? 是关于? 的k 阶无穷小; 则称? 是? 的等价无穷小, 记作 *