1-5 连续性与间断点 连续函数运算.ppt

小结 基本初等函数在定义域内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明:分段函数在界点处是否连续 需讨论其左、右连续性. 练习 续? 反例 x 为有理数 x 为无理数 处处间断, 处处连续 . 反之是否成立? 提示: “反之” 不成立 . , ) ( 0 连续 在点 若 x x f 是否连 在 问 0 2 ) ( , ) ( x x f x f ) ( x f ) ( , ) ( 2 x f x f 函数的连续性与间断点 连续函数的运算与初等函数的连续性 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 函数的连续性与间断点 第一章 一、 函数连续性的定义 定义: 在 有定义, 则称函数 设函数 且 . 0 处连续。 在 x ) ( x f ) ( x f y = 处及其邻域内 , ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x = ? . 0 处连续。 在 x ) ( x f ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x = ? 函数 在点 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 连续必须具备下列条件: 存在 ; 有定义 , 存在 ; 否则函数 f(x) 在 x0 处间断。 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 ,或称它为该区间上 的连续函数 . 在闭区间 上的连续函数的集合 记作 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 只要 都有 对自变量的增量 有函数的增量 函数 在点 连续有下列等价命题: 左连续 右连续 当 时, 有 例. 证明函数 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 在 在 二、 函数的间断点 (1) (2) 不存在; (3) 存在 , 但 不连续 下列情形之一函数 f (x) 在点 这样的点 有定义,但 有定义,且 称为间断点 . 在 无定义 ; 间断点分类: 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 例如: 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设 时 提示: 为 连续函数. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 练习 备选题：确定函数 间断点的类型. 解: 间断点 为无穷间断点; 故 为跳跃间断点. 2. 设 时 为 连续函数. 一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章 定理2. 连续单调函数的反函数也连续单调 在其定义域内连续 一、连续函数的四则运算法则 定理1.连续函数的和、差、积、商连续。 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 二、反函数与复合函数的连续性 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 于是 故复合函数 且 即 意义： 例如, 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 例1 . 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 三、初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在 定义区间内连续 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 例2.求 解: 原式 例3.求 解:令 则 原式 说明:当 时, 有 例4. 求 解: 原式 说明:若 则有 例5. 设 解: 讨论复合函数 的连续性 . 故此时连续; 而 故 x = 1为第一类间断点 . 在点x = 1不连续 ,