组合数学引论课后答案.doc

习题二 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。  任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。 证明：平面上任取5个坐标为整数点，其中至少有两个点，由它们所连线段的中点。 一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出0个相同种类的水果？ 证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。…，2n-2，2n-1。而现在有任意给定的n+2个整数，我们需要构造n+1个盒子，即对上面2n个余数进行分组，共n+1组： {0},{1，2n-1},{2，2n-2},{3,2n-3},…，{n-1,n+1}，{n}。 根据鸽巢原理，n+2个整数，必有两个整数除以2n落入上面n+1个盒子里中的一个，若是{0}或{n}则说明它们的和及差都能被2n整除；若是剩下n-1组，因为一组有两个余数，余数相同则它们的差能被2n整除，不同则它们的和能被2n整除。证明成立。  一个网站在9天中被访问了1800次，证明：存在连续的3天，这个网站的访问量超多600次。 证明： 设网站在9天中访问数分别为a1，a2，...，a9 其中a1+a2+...+a9 = 1800， 令a1+a2+a3 = b1，a4+a5+a6 = b2，a7+a8+a9 = b3 因为（b1+b2+b3）/3 = 600 由推论2.2.2知，b1，b2，b3中至少有一个数大于等于600。 所以存在有连续的三天，访问量大于等于600次。 将一个矩形分成5行41列的网格，每个格子涂1种颜色，有4种颜色可以选择，证明：无论怎样涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。5行，只有4只颜色选择，根据鸽巢原理，则必有两个单元格的颜色相同。另外，每列中两个单元格的不同位置组合有=10种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有10*4=40种情况。 而现在共有41列，根据鸽巢原理，无论怎样涂色，则必有两列相同，也就是必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子是同一颜色。 将一个矩形分成(m+1)行列的网格每个格子涂1种颜色，有种颜色可以选择，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 （1）对每一列而言，有（m+1）行，m种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 种情况 （3）现在有列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 一名实验员在50天里每天至少做一次实验，而实验总次数不超过75。证明一定存在连续的若干天，她正好做了24次实验。 证明：令b1，b2，...，b50 分别为这50天中他每天的实验数，并做部分和 a1 = b1，a2 = b1+b2 ，。。 a50 = b1+b2+...+b50 . 由题，bi=1(1=i=50)且a50=75 所以 1=a1a2a3…a50=75 (*) 考虑数列 a1，a2，...，a50，a1+24，a2+24，a50+24，它们都在1与75+24=99之间。 由鸽巢原理知，其中必有两项相等。由（*）知，a1，a2，...，a50互不相等，从而a1+24，...a50+24 也互不相等，所以一定存在1=ij=50, 使得aj = ai+24，即 24=aj-ai=(b1+b2+b3+…+bi+…+bj)-(b1+b2+…+bi)= 所以从第i+1天到第j天这连续j-i天中，她正好做了24次实验。  证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明： 将S划分为{1,3,5}，{7,9,11}……,{ 595,597,599}共100组，由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组，即其差最多为4. 证明：从1~200中任意选取70个数，